Question

在曲線y=cosx（

2

π

＜x＜

3π

2

）上有橫坐標(biāo)是x，x+

1

2

的A，B兩點(diǎn)，它們?cè)趚軸上的射影是A′B′，則梯形A′ABB′的面積達(dá)到最大時(shí)，x的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)題意，求出A、B、A′、B′點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出梯形A′ABB′的面積表達(dá)式，求出當(dāng)面積取最大值時(shí)x的值．

解答： 解：如圖所示，
∵y=cosx（

2

π

＜x＜

3π

2

），
∴A（x，cosx），B（x+

1

2

，cos（x+

1

2

））；
A′（x，0），B′（x+

1

2

，0）；
∴梯形A′ABB′的面積為
S=

1

2

|cosx+cos（x+

1

2

）|×（x+

1

2

-x）
=

1

4

|cosx+cos（x+

1

2

）|
=

1

4

×|2cos（x+

1

4

）cos

1

4

|
=

1

2

cos

1

4

|cos（x+

1

4

）|；
∵

2

π

＜x＜

3π

2

，
∴

2

π

+

1

4

＜x+

1

4

＜

3π

2

+

1

4

，
∴令x+

1

4

=π，得x=π-

1

4

；
∴當(dāng)梯形A′ABB′的面積S達(dá)到最大時(shí)，
x的值為π-

1

4

．
故答案為：π-

1

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)建立函數(shù)模型，根據(jù)三角函數(shù)的有界性進(jìn)行解答，是中檔題．