Question

設F為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1右焦點，P是雙曲線上的點，若它的漸近線上，存在一點Q使得|FP|=2|PQ|，則雙曲線離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設出雙曲線的右焦點，一條漸近線，以及右頂點，求出FP的最小值，即有2a不大于c-a，再由離心率公式計算即可得到．

解答： 解：設雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦點F（c，0），
一條漸近線方程為y=

b

a

x，
右頂點為P'（a，0），
由|FP|≥|FP'|=c-a，
當P與P'重合，Q與O重合，則有|OP'|=a，
則2a≥c-a，即為c≤3a，
即有e=

c

a

≤3，
由于e＞1，則1＜e≤3．
故答案為：（1，3]．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質，考查雙曲線的點到焦點的距離的最小值，考查離心率的求法，屬于基礎題．