Question

【題目】已知，其中且．

（1）若，求的值；

（2）對于每一個給定的正整數(shù)，求關于的方程所有解的集合．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：（1）利用已知化簡，解得n=15.（2）首先歸納猜想猜想fn(x)＋gn(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，再證明猜想，最后得到對于每一個給定的正整數(shù)n，關于x的方程fn(x)＋gn(x)＝0所有解的集合為{－1，－2，…，－n}．

詳解：（1）因為fn(x)＝x(x＋1)…(x＋i－1)，

所以fn(1)＝×1×…×i＝＝(n－1)×n!，gn(1)＝＋1×2×…×n＝2×n!，

所以(n－1)×n!＝14×n!，解得n＝15．

（2）因為f2(x)＋g2(x)＝2x＋2＋x(x＋1)＝(x＋1)(x＋2)，

f3(x)＋g3(x)＝6x＋3x(x＋1)＋6＋x(x＋1)(x＋2)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)，

猜想fn(x)＋gn(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)．

面用數(shù)學歸納法證明：

當n＝2時，命題成立；

假設n＝k(k≥2，k∈N*)時命題成立，即fk(x)＋gk(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋k)，

因為fk＋1(x)＝…(x＋i－1)

＝ x(x＋1)…(x＋i－1)＋x(x＋1)…(x＋k－1)

＝(k+1) fk(x)＋(k+1) x(x＋1)…(x＋k－1)，

所以fk＋1(x)＋gk＋1(x)＝(k+1) fk(x)＋(k+1) x(x＋1)…(x＋k－1)＋＋x(x＋1)…(x＋k)

＝(k+1)[ fk(x)＋x(x＋1)…(x＋k－1)＋]＋x(x＋1)…(x＋k)＝(k+1)[ fk(x)＋gk(x)]＋x(x＋1)…(x＋k).

＝(k+1)(x＋1)(x＋2)…(x＋k)＋x(x＋1)…(x＋k)

＝(x＋1)(x＋2)…(x＋k) (x＋k＋1)，

即n＝k＋1時命題也成立．

因此任意n∈N*且n≥2，有fn(x)＋gn(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)．

所以對于每一個給定的正整數(shù)n，關于x的方程fn(x)＋gn(x)＝0所有解的集合為

{－1，－2，…，－n}．