Question

在平面直角坐標系中，已知動點M（x，y），點A（0，1），B（0，-1），D（1，0），點N與點M關于直線y=x對稱，且

AN

•

BN

=

1

2

x2．直線l是過點D的任意一條直線．
（1）求動點M所在曲線C的軌跡方程；
（2）設直線l與曲線C交于G、H兩點，且|GH|=

3 2

2

，求直線l的方程；
（3）（理科）若直線l與曲線C交于G、H兩點，與線段AB交于點P（點P不同于點O、A、B），直線GB與直線HA交于點Q，求證：

OP

•

OQ

是定值．
（文科） 設直線l與曲線C交于G、H兩點，求以|GH|的長為直徑且經(jīng)過坐標原點O的圓的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由點N與點M關于直線y=x對稱，可得N（y，x）．利用數(shù)量積運算

AN

•

BN

=

1

2

x2，即可得出；
（2）假設l⊥x軸，則直線與l的交點為（1，±

2

2

），直接驗證即可；可設直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y=k（x-1），G（x₁，y₁），H（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系、弦長公式即可得出．
（3）（理科）由直線l的方程：y=k（x-1），令x=0，可得P（0，-k）．直線AH的方程為y=

y2-1

x2

x+1，直線GB的方程為：y=

y1+1

x1

x-1．聯(lián)立解得Q(

2x1x2

k(x1-x2)+(x1+x2)

，

2kx1x2-k(x1+x2)+x2-x1

k(x1-x2)+(x1+x2)

)．利用根與系數(shù)的關系可得：

OP

•

OQ

=1為定值．
（3）（文科）若以|GH|的長為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O，利用數(shù)量積運算

OG

•

OH

=0解出k．圓心的橫坐標=

x1+x2

2

=

2

3

，縱坐標=±

1

3

，可得圓心(

2

3

，±

1

3

)．半徑r²=(

2

3

)2+(-

1

3

)2=

5

9

．即可得出．

解答： 解：（1）∵點N與點M關于直線y=x對稱，∴N（y，x）．
∵

AN

•

BN

=

1

2

x2，∴（y，x-1）•（y，x+1）=

1

2

x2，
∴y2+x2-1=

1

2

x2，化為

x2

2

+y2=1．
∴動點M所在曲線C的軌跡方程為

x2

2

+y2=1．
（2）假設l⊥x軸，則直線與l的交點為（1，±

2

2

），此時|GH|=

2

，不滿足要求，舍去；
可設直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y=k（x-1），G（x₁，y₁），H（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=k(x-1) x2+2y2=2

，化為（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

．
∴|GH|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2 2 (1+k2)

1+2k2

=

3 2

2

，
解得k=±

2

2

．
∴直線l的方程為y=±

2

2

(x-1)．
（3）（理科）證明：由直線l的方程：y=k（x-1），令x=0，解得y=-k，∴P（0，-k）．
直線AH的方程為：y=

y2-1

x2

x+1，
直線GB的方程為：y=

y1+1

x1

x-1．
聯(lián)立

y= y2-1 x2 x+1 y= y1+1 x1 x-1

，解得Q(

2x1x2

k(x1-x2)+(x1+x2)

，

2kx1x2-k(x1+x2)+x2-x1

k(x1-x2)+(x1+x2)

)．
利用根與系數(shù)的關系可得：

OP

•

OQ

=

-k[ 4k(k2-1) 1+2k2 - 4k3 1+2k2 +(x2-x1)]

k(x1-x2)+ 4k2 1+2k2

=1為定值．
（文科）解：若以|GH|的長為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O，
則

OG

•

OH

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²（x₁-1）（x₂-1）=（1+k²）x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²=0，
由（2）可得

(1+k2)(2k2-2)

1+2k2

-

4k4

1+2k2

+k²=0，
化為k²=1，解得k=±1．
∴直線l的方程為：y=±（x-1）．
∴圓心的橫坐標=

x1+x2

2

=

2

3

，縱坐標=±

1

3

，可得圓心(

2

3

，±

1

3

)．
半徑r²=(

2

3

)2+(-

1

3

)2=

5

9

．
∴圓的方程為：(x-

2

3

)2+(y±

1

3

)2=

5

9

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相切相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得及根與系數(shù)的關系、弦長公式、向量垂直與數(shù)量積的關系、直線的交點、圓的方程，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．