Question

【題目】如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝t，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O—xyz．

（1）若t＝1，求異面直線AC1與A1B所成角的大�。�

（2）若t＝5，求直線AC1與平面A1BD所成角的正弦值；

（3）若二面角A1—BD—C的大小為120°，求實(shí)數(shù)t的值.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

(3) .

【解析】分析：（1）先根據(jù)坐標(biāo)表示向量，，再利用向量數(shù)量積求向量夾角，即得異面直線與所成角，（2）先利用方程組解得平面的一個(gè)法向量，利用向量數(shù)量積得向量夾角余弦值，再根據(jù)線面角與向量夾角互余關(guān)系得結(jié)果，（3）先利用方程組解得平面以及平面的一個(gè)法向量，利用向量數(shù)量積得法向量夾角余弦值，再根據(jù)二面角與向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系得結(jié)果.

詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，，，

則，

，

故，

所以異面直線與所成角為．

（2）當(dāng)時(shí)，，，，，，

則，，

設(shè)平面的法向量，

則由得，

不妨取，則， 此時(shí)，

設(shè)與平面所成角為，因?yàn)?/span>，

則，

所以與平面所成角的正弦值為．

（3）由得，，，

設(shè)平面的法向量，

則由得，

不妨取，則， 此時(shí)，

又平面的法向量，

故，解得，

由圖形得二面角大于，所以符合題意．

所以二面角的大小為，的值為．