Question

已知數(shù)列｛a_n｝，其中a₂=6,且滿足=n.

(1)求得a₁、a₃、a₄；

(2)求數(shù)列｛a_n｝的通項公式；

(3)設(shè)數(shù)列｛b_n｝是等差數(shù)列，其中b_n=；c為不等于零的常數(shù)，若S_n=b_i,求()的值.

Answer 1

解：(1)由題意得=1,且a₂=6,

解得a₁=1；由=2,解得a₃=15;

由=3,解得a₄=28. ∴a₁=1,a₃=15,a₄=28.

(2)a₁=1×1,a₂=2×3,a₃=3×5,a₄=4×7,猜想a_n=n(2n-1).下面用數(shù)學歸納法證明①當n=1時，猜想成立；②假設(shè)n=k(k∈N^*)時，猜想成立，即a_k=k(2k-1).

求證當n=k+1時猜想也成立，即a_k+1=（k+1）［2(k+1)-1］.由已知=k.化簡得(k-1)a_k+1=(k+1)a_k-(k+1)=(k+1)k(2k-1)-(k+1)=(k+1)(2k+1)(k-1),(k-1≠0).

∴a_k+1=(k+1)［2(k+1)-1］，即當n=k+1時，猜想也成立.綜合①②知，當∈N^*時，｛a_n｝的通項公式為a_n=n(2n-1).

(3)由｛b_n｝是等差數(shù)列知,2b₂=b₁+b₃,即=+，把a₁=1,a₂=6,a₃=15代入上式，且c≠0，解得c=-.又b_n===2n.

S_n=b_i==n(n+1)，=+++…

=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=1-.

∴()=(1-)=1.