【題目】已知函數(shù).

（1）若恒成立，求實數(shù)的最大值；

（2）在（1）成立的條件下，正實數(shù)，滿足，證明：.

【答案】(1)2；(2)證明見解析.

【解析】

（1）由題意可得，則原問題等價于，據(jù)此可得實數(shù)的最大值.

（2）證明：法一：由題意結(jié)合(1)的結(jié)論可知，結(jié)合均值不等式的結(jié)論有，據(jù)此由綜合法即可證得.

法二：利用分析法，原問題等價于，進一步，只需證明，分解因式后只需證，據(jù)此即可證得題中的結(jié)論.

（1）由已知可得，

所以，

所以只需，解得，

∴，所以實數(shù)的最大值.

（2）證明：法一：綜合法

∵，

∴，

∴，當且僅當時取等號，①

又∵，∴，

∴，當且僅當時取等號，②

由①②得，∴，所以.

法二：分析法

因為，，

所以要證，只需證，

即證，

∵，所以只要證，

即證，

即證，因為，所以只需證，

因為，所以成立，

所以.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

(I)若函數(shù)在區(qū)間上均單調(diào)且單調(diào)性相反,求的取值范圍；

(Ⅱ)若,證明:

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在棱長為1的正方體中，點在上移動，點在上移動，，連接.

（1）證明：對任意，總有∥平面；

（2）當的長度最小時，求二面角的平面角的余弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為實常數(shù).

（1）若當時，在區(qū)間上的最大值為，求的值；

（2）對任意不同兩點，，設(shè)直線的斜率為，若恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】橢圓（）的離心率是，點在短軸上，且。

（1）球橢圓的方程；

（2）設(shè)為坐標原點，過點的動直線與橢圓交于兩點。是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖,直三棱柱中,分別為的中點.

(1)證明:平面;

(2)求與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限(年)和所支出的年平均維修費用(萬元)(即維修費用之和除以使用年限),有如下的統(tǒng)計資料：

使用年限

2

3

4

5

6

維修費用

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

（1）畫出散點圖；

（2）求關(guān)于的線性回歸方程；

（3）估計使用年限為10年時所支出的年平均維修費用是多少?

參考公式：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某體育公司對最近6個月內(nèi)的市場占有率進行了統(tǒng)計，結(jié)果如表：

（1）可用線性回歸模型擬合與之間的關(guān)系嗎？如果能，請求出關(guān)于的線性回歸方程，如果不能，請說明理由；

（2）公司決定再采購，兩款車擴大市場，，兩款車各100輛的資料如表：

平均每輛車每年可為公司帶來收入500元，不考慮采購成本之外的其他成本，假設(shè)每輛車的使用壽命都是整數(shù)年，用每輛車使用壽命的頻率作為概率，以每輛車產(chǎn)生利潤的期望值作為決策依據(jù)，應(yīng)選擇采購哪款車型？

參考數(shù)據(jù)：，，，．

參考公式：相關(guān)系數(shù)；

回歸直線方程，其中，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限(年)和所支出的年平均維修費用(萬元)(即維修費用之和除以使用年限),有如下的統(tǒng)計資料：

使用年限

2

3

4

5

6

維修費用

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

（1）畫出散點圖；

（2）求關(guān)于的線性回歸方程；

（3）估計使用年限為10年時所支出的年平均維修費用是多少?

參考公式：

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