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9.已知函數(shù)f(x)=|2x+1|+|2x-3|,
(1)若關于x的不等式f(x)>|1-3a|恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若關于t的一元二次方程t242t+fm=0有實根,求實數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)利用絕對值的幾何意義求出|2x+1|+|2x-3|的最小值,得到a的不等式求解即可.
(2)通過△≥0,得到|2m+1|+|2m-3|≤8,去掉絕對值求解即可.

解答 解:(1)因為f(x)=|2x+1|+|2x-3|≥|(2x+1)-(2x-3)|=4,
所以|1-3a|<4,即1a53,
所以實數(shù)a的取值范圍為153.…(5分)
(2)△=32-4(|2m+1|+|2m-3|)≥0,
即|2m+1|+|2m-3|≤8,
所以不等式等價于{m322m+1+2m38{12m322m+12m+38{m122m+12m38.
所以32m52,或12m32,或32m12,
所以實數(shù)m的取值范圍是{m|32m52}.       …(10分)

點評 本題考查函數(shù)恒成立,絕對值不等式的幾何意義,二次函數(shù)的簡單性質(zhì)的應用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

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