如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形且側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長(zhǎng)是
3
，D是AC的中點(diǎn)．
（1）求證：平面A1BD⊥平面A1ACC1；
（2）求直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值．
考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：（1）由已知條件得AA1⊥底面ABC，BD⊥平面A1ACC1，由此能證明平面A1BD⊥平面A1ACC1．
（2）作AM⊥A1D，設(shè)AB1與A1B相交于點(diǎn)P，連接MP，則∠APM就是直線A1B與平面A1BD所成的角，由此能求出直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值．
解答： （1）證明：∵正三棱住ABC-A1B1C1，∴AA1⊥底面ABC，
又∵BD⊥AC，A1A∩AC=A，∴BD⊥平面A1ACC1，
又∵BD?平面A1BD，
∴平面A1BD⊥平面A1ACC1…6分
（2）解：作AM⊥A1D，M為垂足，
由（1）知AM⊥平面A1DB，設(shè)AB1與A1B相交于點(diǎn)P，
連接MP，則∠APM就是直線A1B與平面A1BD所成的角，…9分
∵AA1=
3
，AD=1，∴在Rt△AA1D中，
∠A1DA=
π
3
，∴AM=1×sin60°=
3
2
，AP=
1
2
AB1=
7
2
，
∴sin∠APM=
AM
AP
=
3
2
7
2
=
21
7
．
直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值為
21
7
．…12分．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線性與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（1+x）lnx．
（Ⅰ）判斷f（x）在（0，+∞）的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=
f(x)
a(1-x)
（a≠0），若對(duì)一切的x∈（0，1），不等式g（x）＜-2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P（1，
2
3
3
）是橢圓上的一點(diǎn)，且|PF1|+|PF2|=2
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l1，l2分別過(guò)點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且l1⊥l2，直線l1交橢圓C于D、E兩點(diǎn)，直線l2交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，求四邊形DMEN面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在股票市場(chǎng)上，投資者常參考股價(jià)（每一股的價(jià)格）的某條平滑均線的變化情況來(lái)決定買(mǎi)入或賣出股票．股民老張?jiān)谘芯抗善钡淖邉?shì)圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)一只股票的均線近期走得很有特點(diǎn)：如果按如圖所示的方式建立平面直角坐標(biāo)系xoy，則股價(jià)y（元）和時(shí)間x的關(guān)系在ABC段可近似地用解析式y(tǒng)=asin（ωx+φ）+b（0＜φ＜π）來(lái)描述，從C點(diǎn)走到今天的D點(diǎn)，是震蕩筑底階段，而今天出現(xiàn)了明顯的筑底結(jié)束的標(biāo)志，且D點(diǎn)和C點(diǎn)正好關(guān)于直線l：x=34對(duì)稱．老張預(yù)計(jì)這只股票未來(lái)的走勢(shì)如圖中虛線所示，這里DE段與ABC段關(guān)于直線l對(duì)稱，EF段是股價(jià)延續(xù)DE段的趨勢(shì)（規(guī)律）走到這波上升行情的最高點(diǎn)F．現(xiàn)在老張決定取點(diǎn)A（0，22），點(diǎn)B（12，19），點(diǎn)D（44，16）來(lái)確定解析式中的常數(shù)a，b，ω，φ，并且求得ω=
π
72
．
（1）請(qǐng)你幫老張算出a，b，φ，并回答股價(jià)什么時(shí)候見(jiàn)頂（即求F點(diǎn)的橫坐標(biāo)）
（2）老張如能在今天以D點(diǎn)處的價(jià)格買(mǎi)入該股票3000股，到見(jiàn)頂處F點(diǎn)的價(jià)格全部賣出，不計(jì)其它費(fèi)用，這次操作他能賺多少元？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)M作y軸的垂線且交y軸于點(diǎn)N，點(diǎn)Q滿足：
OQ
=2
OM
-
ON
．
（1）求點(diǎn)Q的軌跡方程C；
（2）設(shè)曲線C分別與x，y軸正半軸交于A，B兩點(diǎn)，直線y=kx（k＞0）與曲線C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，與線段AB交于點(diǎn)D，
ED
=6
DF
，求k值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，B=45°，AC=
10
，cosC=
2
5
5
．
（Ⅰ）求sinA的值和邊AB的長(zhǎng)；
（Ⅱ）設(shè)AB的中點(diǎn)為D，求中線CD的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）=
xlnx(0＜x＜1)
lnx
x
(x≥1)
，則函數(shù)的最大值與最小值的和等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-
x2
2
+x在區(qū)間[m，n]上的值域是[3m，3n]，則m-n=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，|ϕ|＜
π
2
）的圖象如圖所示，為了得到y(tǒng)=sinωx的圖象，只需把y=f（x）的圖象上所有點(diǎn)向右平移
 
 個(gè)單位長(zhǎng)度．

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