Question

已知函數(shù)f（x）=（1+x）lnx．
（Ⅰ）判斷f（x）在（0，+∞）的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=

f(x)

a(1-x)

（a≠0），若對(duì)一切的x∈（0，1），不等式g（x）＜-2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出f′(x)=lnx+

1+x

x

，再求出f″（x）=

1

x

-

1

x2

＞0⇒x＞1，從而得出f（x）在（0，+∞）的單調(diào)遞增；
（Ⅱ）由題意得：當(dāng)a＜0時(shí)，不等式g（x）＜-2不成立當(dāng)a＞0時(shí)，不等式g(x)＜-2?lnx＜

2a(x-1)

x+1

設(shè)F（x）=lnx-

2a(x-1)

x+1

，討論①當(dāng)0＜a≤1時(shí)，△≤0，②當(dāng)a＞1時(shí)，△＞0，從而求出a的范圍．

解答： 解：定義域?yàn)椋?，+∞）
（Ⅰ）f′(x)=lnx+

1+x

x

，
f″（x）=

1

x

-

1

x2

＞0⇒x＞1，
∴f′（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f′（x）＞f′（1）=2＞0，
∴f（x）在（0，+∞）的單調(diào)遞增
（Ⅱ）g(x)=

f(x)

a(1-x)

=

1+x

a(1-x)

lnx，定義域?yàn)椋?，1）
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，∵

1+x

1-x

lnx＜0，
∴當(dāng)a＜0時(shí)，不等式g（x）＜-2不成立
當(dāng)a＞0時(shí)，不等式g(x)＜-2?lnx＜

2a(x-1)

x+1

設(shè)F（x）=lnx-

2a(x-1)

x+1

，
則F′(x)=

1

x

-

4a

(x+1)2

=

x2+2(1-2a)x+1

x(x+1)2

令F′（x）=0⇒h（x）=x²+2（1-2a）x+1=0⇒△=4（1-2a）²-4=16a（a-1）
①當(dāng)0＜a≤1時(shí)，△≤0，
∴F′（x）≥0，∴F（x）在（0，1）的單調(diào)遞增，
F（x）＜F（1）=0恒成立，
∴0＜a≤1．
②當(dāng)a＞1時(shí)，△＞0，h（0）=1＞0，h（1）=4（1-a）＜0
∴?x₀∈（0，1）使h（x₀）=0，
∴?x0∈(x0，1)，   h(x)＜0⇒F′(x)＜0，
∴F（x）在（x₀，1）的單調(diào)遞減，
∴F（x）＞F（1）=0與題設(shè)矛盾．
綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想，是一道綜合題．