Question

已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當時，判斷和的大小，并說明理由；
(3)求證：當時，關(guān)于的方程：在區(qū)間上總有兩個不同的解．

Answer 1

（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）當時，．
（3）構(gòu)造函數(shù)，然后借助于在區(qū)間、分別存在零點，又由二次函數(shù)的單調(diào)性可知最多在兩個零點，進而得到結(jié)論。

解析試題分析：（1）
當時可解得，或
當時可解得
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
單調(diào)遞減區(qū)間為                         3分
（2）當時，因為在單調(diào)遞增，所以
當時，因為在單減，在單增，所能取得的最小值為，，，，所以當時，．
綜上可知：當時，．　                  7分
（3）即
考慮函數(shù)，
，，

所以在區(qū)間、分別存在零點，又由二次函數(shù)的單調(diào)性可知：最多存在兩個零點，所以關(guān)于的方程：在區(qū)間上總有兩個不同的解                                  10分
考點：導(dǎo)數(shù)的運用
點評：考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用，以及利用函數(shù)與方程的思想的綜合運用，屬于難度題。