Question

如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的對(duì)角線A₁C與側(cè)棱BB₁所成的角為45°，且AB=BC=1，求A₁C與側(cè)面BB₁C₁C所成角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專(zhuān)題：空間角

分析：連結(jié)AC，B₁C，由已知得∠AA₁C=45°，AA₁=AC=

AB2+BC2

=

2

，∠A₁CB₁是直線A₁C與平面BB₁C₁C所成角，
由此能求出A₁C與側(cè)面BB₁C₁C所成角的大�。�

解答： 解：連結(jié)AC，B₁C，
∵長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的對(duì)角線A₁C與側(cè)棱BB₁所成的角為45°，且AB=BC=1，
∴∠AA₁C=45°，∴AA₁=AC=

AB2+BC2

=

2

，
∵A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，∴∠A₁CB₁是直線A₁C與平面BB₁C₁C所成角，
∵A₁B₁=1，B₁C=

BC2+BB12

=

3

，
∴tan∠A₁CB₁=

A1B1

B1C

=

1

3

=

3

3

，
∴∠A₁CB₁=30°．
∴A₁C與側(cè)面BB₁C₁C所成角的大小為30°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，線面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用，考查直線與平面所成角的求法，解題時(shí)要注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系及性質(zhì)的合理運(yùn)用，是中檔題．