Question

對(duì)于數(shù)列{a_n}，規(guī)定數(shù)列{△a_n}為數(shù)列{a_n}的一階差分?jǐn)?shù)列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）；一般地，規(guī)定{△^ka_n}為{a_n}的k階差分?jǐn)?shù)列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n，且k∈N^*，k≥2．
（1）已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=

5

2

n²-

13

2

n（n∈N^*）．試證明{△a_n}是等差數(shù)列；
（2）若數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=-13，且滿足△²a_n-△a_n+1+a_n=-2²ⁿ，（n∈N^*），求數(shù)列{

an+1

2n+1

-

an

2n

}及{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）在（2）的條件下，判斷a_n是否存在最小值，若存在求出其最小值，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性,等差關(guān)系的確定,等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）依題意，△an=[

5

2

(n+1)2-

13

2

(n+1)]-(

5

2

n2-

13

2

n)=5n-4，由此能證明{△a_n}是首項(xiàng)為1，公差為5的等差數(shù)列．
（2）由已知得△a_n-a_n=2²ⁿ，a_n+1-a_n-a_n=2²ⁿ，從而得到

an+1

2n+1

-

an

2n

=2n-1，由此利用累加法能求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（3）令x=2^n-1，則f（x）=2x²-15x=2（x-

15

4

）²-

225

8

，再由|2²-

15

4

|＜|23-

15

4

|，能求出n=3時(shí)，a_n存在最小值，其最小值為-28．

解答： （1）證明：依題意，△a_n=a_n+1-a_n，
∴△an=[

5

2

(n+1)2-

13

2

(n+1)]-(

5

2

n2-

13

2

n)=5n-4，
∴△a_n+1-△a_n=5，
∵△a₁=a₂-a₁=（

5

2

×2²-

13

2

×2）-（

5

2

-

13

2

）=1，
∴{△a_n}是首項(xiàng)為1，公差為5的等差數(shù)列．
（2）解：∵△²a_n-△a_n+1+a_n=-2²ⁿ，（n∈N^*），
∴△a_n+1-△a_n-△a_n+1+a_n=-2²ⁿ，
∴△a_n-a_n=2²ⁿ，∴a_n+1-a_n-a_n=2²ⁿ，
∴an+1=2an+22n，∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=2n-1，
當(dāng)n≥2時(shí)，

an

2n

=(

a2

22

-

a1

2

)+(

a3

23

-

a2

22

)+(

a4

24

-

a3

23

)+…+(

an

2n

-

an-1

2n-1

)+

a1

2

=20+2+22+…+2n-2+

-13

2

=

2(1-2n-2)

1-2

-

13

2

=2^n-1-

15

2

，
∴an=22n-1-15•2n-1（n≥2，n∈N^*），
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=-13也滿足上式，
∴an=22n-1-15•2n-1（n∈N^*）．
（3）解：∵an=2•22n-2-15•2^n-1，（n∈N^*），
令x=2^n-1，則f（x）=2x²-15x=2（x-

15

4

）²-

225

8

，
則當(dāng)x∈(-∞，

15

4

)時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（

15

4

，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
而|2²-

15

4

|＜|23-

15

4

|，
∴2^n-1=2²，即n=3時(shí)，a_n存在最小值，其最小值為-28．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查a_n是否存在最小值的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意累加法的合理運(yùn)用．