Question

如圖，在60°的二面角α-l-β內取點A，在半平面α，β中分別任取點B，C．若A到棱l的距離為d，則△ABC的周長的最小值為

 

．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間位置關系與距離

分析：作A關于平面α和β的對稱點M和N，連接MN，AM交平面α于D，AN交平面β于E，連接DE，△ABC周長L=AB+AC+BC=BM+CN+BC．由兩點之間線段最短可以得出要使△PBC周長最小，M、B、C、N在一條直線上．△ABC周長L=MN=2DE．由此能求出△ABC周長的最小值．

解答： 解：作A關于平面α和β的對稱點M和N，
連接MN，AM交平面α于D，AN交平面β于E，連接DE，
△ABC周長L=AB+AC+BC=BM+CN+BC
由兩點之間線段最短可以得出要使△PBC周長最小，
M、B、C、N在一條直線上．
△ABC周長L=MN=2DE
把三角形ADE另作一圖，作A關于DO的對稱點D′，
A關于EO的對稱點E′，
連接D′O，E′O，D′D，E′E，D′E′，
∵二面角α-l-β的大小為60°，
∴∠DOE=60°，
∴∠D′OE′=120°
D′E′=2DE
∵AO=d
∴D′O=E′O=d
∴D′E′=

3

d，
△ABC周長的最小值L_min=MN=2DE=D′E′=

3

d．
故答案為：

3

d．

點評：本題考查三角形周長的最小值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)和數(shù)形結合思想的合理運用．