設函數(shù)f（x）=
x2+1
-ax，當a∈[1，+∞）時，試證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調減函數(shù)．
考點：函數(shù)單調性的判斷與證明
專題：函數(shù)的性質及應用
分析：利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，由f′（x）=
x
x2+1
-a得f′（x）＜0在區(qū)間[0，+∞）上恒成立，即可得證．
解答： 證明：∵f（x）=
x2+1
-ax，
∴f′（x）=
x
x2+1
-a=
x-a
x2+1
x2+1

∵a∈[1，+∞），x∈[0，+∞），∴
x-a
x2+1
x2+1
＜
x-a
x2
x2+1
=
(1-a)x
x2+1
＜0
∴f′（x）＜0在區(qū)間[0，+∞）上恒成立，
∴當a∈[1，+∞）時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調減函數(shù)．
點評：函數(shù)單調性的證明方法有定義法和導數(shù)法，本題采用導數(shù)法證明較好．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1=3，anbn=2，bn+1=an（bn-
2
1+an
），n∈N*．
（1）求證：數(shù)列{
1
bn
}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式；
（2）設數(shù)列{cn}滿足cn=2an-5，對于任意給定的正整數(shù)p，是否存在正整數(shù)q，r（p＜q＜r），使得
1
cp
，
1
cq
，
1
cr
成等差數(shù)列？若存在，試用p表示q，r；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，設A（2，4）是拋物線C：y=x2上的一點．
（1）求該拋物線在點A處的切線l的方程；
（2）求曲線C、直線l和x軸所圍成的圖形的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
2
sin2xsinφ+cos2xcosφ-sin（
π
2
+φ）（0＜φ＜
π
2
），且函數(shù)圖象過點（
π
4
，
1
4
）．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）將函數(shù) y=f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的
2
3
，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，
π
3
]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l與圓C：x2+y2+2x-4y+a=0相交于A，B兩點，弦AB的中點為M（0，1）．
（1）實數(shù)a的取值范圍以及直線l方程
（2）若弦AB=2
7
，求圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=(m2-m-1)xm2-2m-2是冪函數(shù)，且在x∈（0，+∞）上為增函數(shù)，則實數(shù)m的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

數(shù)列{an}的前n項和為Sn．若數(shù)列{an}的各項按如下規(guī)則排列：
1
2
，
1
3
，
2
3
，
1
4
，
2
4
，
3
4
，
1
5
，
2
5
，
3
5
，
4
5
，…，
1
n
，
2
n
，…，
n-1
n
…，則a15=
 
；若存在正整數(shù)k，使Sk-1＜10，Sk＞10，則ak=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在60°的二面角α-l-β內取點A，在半平面α，β中分別任取點B，C．若A到棱l的距離為d，則△ABC的周長的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求由y=4-x2與直線y=2x-4所圍成圖形的面積．

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同步練習冊答案