Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

sin2xsinφ+cos²xcosφ-sin（

π

2

+φ）（0＜φ＜

π

2

），且函數(shù)圖象過點（

π

4

，

1

4

）．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）將函數(shù) y=f（x）的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的

2

3

，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，

π

3

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用兩角和公式和二倍角公式對函數(shù)解析式化簡，把點（

π

4

，

1

4

）代入求得φ．
（Ⅱ）根據(jù)題意得出g（x）的函數(shù)解析式，利用x的范圍和三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)g（x）的最大和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

1

2

sin2xsinφ+cos²xcosφ-sin（

π

2

+φ）
=

1

2

sin2xsinφ+

1

2

（1+cos2x）cosφ-

1

2

cosφ
=

1

2

sin2xsinφ+

1

2

cos2xcosφ
=

1

2

cos（2x-φ）
∵函數(shù)圖象過點（

π

4

，

1

4

）．
∴

1

4

=

1

2

cos（

π

2

-φ），即cos（

π

2

-φ）=sinφ=

1

2

，
∵0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

6

（Ⅱ）由題意可知y=g（x）=f（

3

2

x）=

1

2

cos（3x-

π

6

），
∵x∈[0，

π

3

]
∴（3x-

π

6

）∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴-

3

2

≤cos（3x-

π

6

）≤1
∴函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，

π

3

]上的最大值為

1

2

，最小值為-

3

4

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用和三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．解題關(guān)鍵就是要化繁為間，化難為易．