Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=2，且a_n+1=

1

2

（a₁+a₂+a₃+…+a_n），則其前n項(xiàng)和S_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由數(shù)列遞推式得到2a_n+1=S_n，取n=n-1后得另一遞推式，作差后可得數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)起構(gòu)成以

3

2

為公比的等比數(shù)列，然后由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和得答案．

解答： 解：由a_n+1=

1

2

（a₁+a₂+a₃+…+a_n），得
2a_n+1=S_n，
當(dāng)n≥2時(shí)，有2a_n=S_n-1，
作差得：2a_n+1=3a_n（n≥2），
即

an+1

an

=

3

2

(n≥2)．
又a₁=2，且a_n+1=

1

2

（a₁+a₂+a₃+…+a_n），
∴a2=

1

2

a1=

1

2

×2=1，

a2

a1

=

1

2

．
∴數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)起構(gòu)成以

3

2

為公比的等比數(shù)列，
則Sn=2+

1×[1-( 3 2 )n-1]

1- 3 2

=2•(

3

2

)n-1．
故答案為：2•(

3

2

)n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．