Question

對于數(shù)列{a_n}，如果對任意正整數(shù)n，總有不等式：

an+an+2

2

≤a_n+1成立，則稱數(shù)列{a_n}為向上凸數(shù)列（簡稱上凸數(shù)列）．現(xiàn)有數(shù)列{a_n}滿足如下兩個(gè)條件：
（1）數(shù)列{a_n}為上凸數(shù)列，且a₁=1，a₁₀=28；
（2）對正整數(shù)n（1≤n＜10，n∈N^*），都有|a_n-b_n|≤20，其中b=n²-6n+10．
則數(shù)列{a_n}中的第五項(xiàng)a₅的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：壓軸題,轉(zhuǎn)化思想,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：

an+an+2

2

≤a_n+1，

an+2-an+1

n+2-n-1

≤

an+1-an

n+1-n

，a₅≥13，
（1）在|a_n-b_n|≤20，b_n=n²-6n+10中，令n=5⇒-15≤a₅≤25，
（2）（1）、（2）聯(lián)立能得到第五項(xiàng)a₅的取值范圍．

解答： 解：（1）∵

an+an+2

2

≤a_n+1，

an+2-an+1

n+2-n-1

≤

an+1-an

n+1-n

，

a10-a1

10-1

≤

a5-a1

5-1

，
把a(bǔ)₁=1，a₁₀=28代入得a₅≥13，
在|a_n-b_n|≤20，b_n=n²-6n+10中，
令n=5，得b₅=25-30+10=5，①
∴-20≤a₅-b₅≤20，
∴-15≤a₅≤25，②
（2）①②聯(lián)立得13≤a₅≤25．
故答案為：[13，25]

點(diǎn)評：本題具有一定的難度，解題時(shí)要注意公式的合理轉(zhuǎn)化．