Question

【題目】已知數(shù)列滿足奇數(shù)項(xiàng)成等差，公差為，偶數(shù)項(xiàng)成等比，公比為，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.

若，.

①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

②若，求正整數(shù)的值；

若，，對(duì)任意給定的，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】①，；②；存在；的取值范圍為.

【解析】

先由，，聯(lián)立求得，；①先對(duì)進(jìn)行分類（正奇數(shù)與正偶數(shù)），分別求通項(xiàng)公式；②先對(duì)進(jìn)行分類（正奇數(shù)與正偶數(shù)），利用①求得的通項(xiàng)公式分別求滿足題意的，再綜合；

分當(dāng)與兩種情況分別研究，求出的取值范圍.

解：①因?yàn)?/span>，，所以，，即解得，.

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則

綜上，.

②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即，即，當(dāng)時(shí)，不合題意；

當(dāng)時(shí)，右邊小于2，左邊大于2，等式不成立；

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，,所以.綜上，.

當(dāng)時(shí)，由于，各項(xiàng)，所以，所以符合題意；

當(dāng)時(shí)，假設(shè)對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，

所以，令，即對(duì)任意恒成立

先證：對(duì)任意恒成立，

令，則，

所以在上遞減，在上遞增，

所以，即對(duì)任意恒成立，所以，

所以，所以當(dāng)時(shí)，,

即，解得，

所以當(dāng)且時(shí)，這與對(duì)任意恒成立矛盾，所以當(dāng)時(shí)不合題意；

綜上的取值范圍為.