Question

【題目】定義行列式的運算如下：，已函數以下命題正確的是（ ）

①對，都有；②若，對，總存在非零常數了，使得；③若存在直線與的圖象無公共點，且使的圖案位于直線兩側，此直線即稱為函數的分界線.則的分界線的斜率的取值范圍是；④函數的零點有無數個.

A.①③④B.①②④

C.②③D.①④

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據行列式的運算定義可得，根據奇函數定義可判斷分段函數為奇函數，所以①正確；根據的單調性和奇偶性可知不是周期函數，所以不是周期函數，所以②錯誤；利用導數求出函數的過原點的切線的斜率，再根據的圖像的對稱性可得界線斜率的取值范圍應為，故③錯誤；根據在區(qū)間上單調遞減，時，，且，可知有無數個解，所以函數的零點有無數個，④正確.

由題知,

當時,,所以 ，同理時亦有，所以①正確；

又時，，，，為奇函數，知的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，，則不存在周期性，故不是周期函數，所以②錯誤；

當時，過原點作的切線，設切點為，則切線斜率，由此直線過原點得，所以，結合②中在區(qū)間上單調遞增；在區(qū)間上單調遞減，且時，，且，可得時，的分界線的斜率的取值范圍是，又為奇函數，可得時，的分界線的斜率的取值范圍是.所以分界線斜率的取值范圍應為，故③錯誤；

由上可知，在區(qū)間上單調遞減，時，，且，所以有無數個解，所以函數的零點有無數個，④正確.

故選：D.