Question

如圖所示的三棱錐A-BCD中，∠BAD=90°，AD⊥BC，AD=4，AB=AC=2

3

，∠BAC=120°，若點(diǎn)P為△ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足直線DP與平面ABC所成角的正切值為2，則點(diǎn)P在△ABC內(nèi)所成的軌跡的長(zhǎng)度為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：確定AD⊥平面ABC，在平面ABC內(nèi)，取點(diǎn)P，連PA，則∠DPA是DP與平面ABC所成角，可得點(diǎn)P在△ABC內(nèi)所成的軌跡是以A為圓心，半徑為2的圓的一部分，即可求出點(diǎn)P在△ABC內(nèi)所成的軌跡的長(zhǎng)度．

解答： 解：因?yàn)椤螧AD=90°，所以AD⊥AB，又AD⊥BC，且AB∩BC=B，所以AD⊥平面ABC．在平面ABC內(nèi)，取點(diǎn)P，連PA，則∠DPA是DP與平面ABC所成角．
又因?yàn)锳D=4，所以直線DP與平面ABC所成角的正切值為2，須AP=2，即點(diǎn)P在△ABC內(nèi)所成的軌跡是以A為圓心，半徑為2的圓的一部分．
而∠BAC=120°=

2π

3

，故點(diǎn)P在△ABC內(nèi)所成的軌跡的長(zhǎng)度為

2π

3

×2=

4π

3

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故答案為：

4π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系，角的計(jì)算，圓的定義，扇形弧長(zhǎng)公式．