Question

過點P（2，1）作直線l分別交x、y軸的正半軸于A、B兩點，點O為坐標原點．當△AOB的周長最小值時，直線l的方程為

 

．

Answer 1

考點：直線的截距式方程

專題：直線與圓

分析：方法一【幾何法】：運用三角形的旁切圓（與AB，x軸，y軸相切），顯然該圓的直徑就是三角形AOB的周長，當該圓與AB的切點是P時，圓的半徑最小，三角形的周長就最��；
方法二，【代數(shù)法】：根據(jù)題意，設出三角形的頂點坐標，求出三角形周長c的表達式，
計算c取最小值時對應的直線方程．

解答： 解：方法一【幾何法】：畫出三角形的旁切圓（與AB，x軸，y軸相切），如圖所示，
顯然該圓的直徑就是三角形AOB的周長，
當該圓與AB的切點是P時，圓的半徑最小，
三角形的周長就最��；
設點C（x，y），此時|PC|=x=y，
∴

(x-2)2+(y-1)2

=x=y，
解得x=y=5，
∴直線CP的斜率是k_CP=

5-1

5-2

=

4

3

，
∴直線l的斜率是k_l=-

3

4

，
∴直線l的方程是y-1=-

3

4

（x-2），
即3x+4y-10=0．
方法二【代數(shù)法】：根據(jù)題意，設三角形的頂點分別為O（0，0），A（a，0），B（0，b），其中a＞0，b＞0，
設∠OAB=α，則α∈（0，

π

2

），如圖所示；
∴OA=a=2+

1

tanα

，OB=b=1+2tanα，
AB=PA+PB=

1

sinα

+

2

cosα

，
周長c=OA+AB+BO=3+

1

tanα

+2tanα+

1

sinα

+

2

cosα

=3+

cosα+1

sinα

+

2(sinα+1)

cosα

=3+

2cos2 α 2 -1+1

2sin α 2 cos α 2

+

2(sin α 2 +cos α 2 )2

cos2 α 2 -sin2 α 2

=3+

cos α 2

sin α 2

+2•

cos α 2 +sin α 2

cos α 2 -sin α 2

=3+

1

tan α 2

+2•

1+tan α 2

1-tan α 2

；
令tan

α

2

=x，則x∈（0，1），
∴周長c=3+

1

x

+

2(1+x)

1-x

=3+

1

x

-2+

4

1-x

=1+

1

x

+

4

1-x

，
∴c′=-

1

x2

+

4

(1-x)2

=

3x2+2x-1

x2(1-x)2

，
令3x²+2x-1=0，解得x=

1

3

或x=-1（舍去）；
∴當x=

1

3

時，周長c取最小值1+3+6=10；
此時a=2+

1-tan2 α 2

2tan α 2

=2+

1-( 1 3 )2

2× 1 3

=2+

4

3

=

10

3

，
b=1+2•tanα=1+2×

3

4

=

5

2

，
∴直線l的方程為

3x

10

+

2y

5

=1，
即3x+4y-10=0．
故答案為：3x+4y-10=0．

點評：本題考查了直線的截距式方程的應用問題，也考查了求函數(shù)最值的應用問題，是難題．