Question

已知雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，且它的離心率為

2 3

3

，實半軸長為

3

．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）過(0，

2

)的直線與雙曲線C有兩個不同的交點A和B，且

OA

•

OB

=-31（其中O為原點），試求出這條直線．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，從而可解得a=

3

，c=2，b=1，寫出雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設直線方程為y=kx+

2

，與雙曲線方程聯(lián)立化簡得(1-3k2)x2-6

2

kx-9=0，利用韋達定理可得x₁+x₂=

6 2 k

1-3k2

，x₁x₂=

-9

1-3k2

；化簡

OA

•

OB

=-31可得(k2+1)

-9

1-3k2

+

2

k

6 2 k

1-3k2

+2=-31，從而求解k．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
∵a=

3

，c=2，
∴b=1，
故雙曲線方程為

x2

3

-y2=1．
（Ⅱ）設直線方程為y=kx+

2

，
代入

x2

3

-y2=1得，
(1-3k2)x2-6

2

kx-9=0，
由

1-3k2≠0 △＞0

得k2≠

1

3

，且k²＜1，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由韋達定理可得，
x₁+x₂=

6 2 k

1-3k2

，x₁x₂=

-9

1-3k2

；
又∵

OA

•

OB

=-31，
∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+

2

)(kx2+

2

)
=(k2+1)x1x2+

2

k(x1+x2)+2
=(k2+1)

-9

1-3k2

+

2

k

6 2 k

1-3k2

+2=-31，
解得k2=

1

4

，
又∵k²＜1，
∴k=±

1

2

，
∴直線方程為y=

x

2

+

2

或y=-

x

2

+

2

．

點評：本題考查了雙曲線方程的求法及與直線方程聯(lián)立的處理方法，化簡很困難，屬于難題．