【題目】已知橢圓 ()的焦距為4,左、右焦點分別為,且 與拋物線: 的交點所在的直線經過.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過 的直線 與交于兩點,與拋物線無公共點,求的面積的取值范圍.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) .
【解析】試題分析:(1)先根據焦距確定焦點坐標,再根據對稱性得與拋物線: 的交點所在的直線為,即得一個交點為,代入橢圓方程,結合可解得, ;(2)先設直線: ,由直線與拋物線無公共點,利用判別式小于零得.由弦長公式可求底邊AB長,利用點到直線距離可得高,代入面積公式可得,根據對勾函數確定其值域.
試題解析:(Ⅰ)依題意得,則, .
所以橢圓與拋物線的一個交點為,
于是 ,從而.
又,解得
所以橢圓的方程為.
(Ⅱ)依題意,直線的斜率不為0,設直線: ,
由,消去整理得,由得.
由,消去整理得,
設, ,則, ,
所以 ,
到直線距離,
故 ,
令,則 ,
所以三邊形的面積的取值范圍為.
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【題目】從某校高三上學期期末數學考試成績中,隨機抽取了名學生的成績得到如圖所示的頻率分布直方圖:
(1)根據頻率分布直方圖,估計該校高三學生本次數學考試的平均分;
(2)若用分層抽樣的方法從分數在和的學生中共抽取人,該人中成績在的有幾人?
(3)在(2)中抽取的人中,隨機抽取人,求分數在和各人的概率.
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【題目】已知函數().
(1)寫出函數的值域,單調區(qū)間(不必證明);
(2)是否存在實數使得的定義域為,值域為?若存在,求出實數的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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【題目】在一次數學考試中,第22題和第23題為選做題,規(guī)定每位考生必須且只須在其中選做一題,現有甲、乙、丙、丁4名考生參加考試,其中甲、乙選做第22題的概率均為,丙、丁選做第22題的概率均為.
(Ⅰ)求在甲選做第22題的條件下,恰有兩名考生選做同一道題的概率;
(Ⅱ)設這4名考生中選做第22題的學生個數為X,求X的概率分布及數學期望.
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【題目】已知動圓過定點,且在軸上截得的弦長為4,記動圓圓心的軌跡為曲線C.
(Ⅰ)求直線與曲線C圍成的區(qū)域面積;
(Ⅱ)點在直線上,點,過點作曲線C的切線、,切點分別為、,證明:存在常數,使得,并求的值.
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【題目】函數 的部分圖象如圖所示,求:
(1)f(x)的表達式.
(2)f(x)的單調增區(qū)間.
(3)f(x)的最小值以及取得最小值時的x集合.
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【題目】設在平面上有兩個向量a=(cos 2α,sin 2α)(0≤α<π),b=,a與b不共線.
(1)求證:向量a+b與a-b垂直;
(2)當向量a+b與a-b的模相等時,求α的大小.
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【題目】東莞市某高級中學在今年4月份安裝了一批空調,關于這批空調的使用年限(單位:年, )和所支出的維護費用(單位:萬元)廠家提供的統計資料如下:
(1)請根據以上數據,用最小二乘法原理求出維護費用關于的線性回歸方程;
(2)若規(guī)定當維護費用超過13.1萬元時,該批空調必須報廢,試根據(1)的結論求該批空調使用年限的最大值.
參考公式:最小二乘估計線性回歸方程中系數計算公式:
,
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【題目】靜寧縣是甘肅蘋果栽培第一大縣,中國著名優(yōu)質蘋果基地和重要蘋果出口基地.靜寧縣海拔高、光照充足、晝夜溫差大、環(huán)境無污染,適合種植蘋果.“靜寧蘋果”以色澤鮮艷、質細汁多,酸甜適度,口感脆甜、貨架期長、極耐儲藏和長途運輸而著名.為檢測一批靜寧蘋果,隨機抽取50個,其重量(單位:克)的頻數分布表如下:
分組(重量) | [80,85) | [85,90) | [90,95) | [95,100) |
頻數(個) | 5 | 10 | 20 | 15 |
(1)根據頻數分布表計算蘋果的重量在[90,95)的頻率;
(2)用分層抽樣的方法從重量在[80,85)和[95,100)的蘋果中共抽取4個,其中重量在[80,85)的有幾個?
(3)在(2)中抽出的4個蘋果中,任取2個,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1個的概率.
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