Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x-sin（2x-

7π

6

）
（1）求函數(shù)f（x）在[-

π

4

，

π

2

]上的最大值和最小值，并求出對(duì)應(yīng)的x值．
（2）已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若f（A）=

3

2

，b+c=2，求實(shí)數(shù)a的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,三角函數(shù)的最值

專(zhuān)題：解三角形

分析：（1）f（x）解析式利用二倍角的余弦函數(shù)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域確定出最小值與最大值，以及相應(yīng)x的值即可；
（2）由f（A）=

3

2

，求出A的度數(shù)，利用余弦定理列出關(guān)系式，把cosA的值代入并利用完全平方公式化簡(jiǎn)，把b+c的值代入，利用基本不等式求出a的最小值即可．

解答： 解：（1）f（x）=1+cos2x-（sin2xcos

7π

6

-cos2xsin

7π

6

）=1+cos2x+

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x+

π

6

）+1，
∵x∈[-

π

4

，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[-

π

3

，

7π

6

]，
∴當(dāng)x=

π

6

時(shí)，f（x）_max=2；當(dāng)x=-

π

4

時(shí)，f（x）_min=1-

3

2

；
（2）f（A）=sin（2A+

π

6

）+1=

3

2

，即sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，即A=

π

3

，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=4-3bc，
∴4-a²=3bc≤3×（

b+c

2

）²，即a²≥1，
解得：a≥1，
則實(shí)數(shù)a的最小值為1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，基本不等式的運(yùn)用，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．