Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+x²-ax，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若x＞1，f（x）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，先求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，解得x的范圍為函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，解得x的范圍為函數(shù)的減區(qū)間．
（2）由f（x）＞0，得a＜

lnx+x2

x

在x＞1時(shí)恒成立，令g（x）=

lnx+x2

x

，求g（x）的范圍，再約束a的范圍．

解答： 解：（1）解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
f′（x）=

1

x

+2x-3=

2x2-3x+1

x

，
當(dāng)0＜x＜

1

2

或x＞1時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)

1

2

＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，

1

2

）和（1，+∞）上是增函數(shù)，在（

1

2

，1）上是減函數(shù)，
∴（0，

1

2

）和（1，+∞）上是增區(qū)間，（

1

2

，1）上是減區(qū)間．
（2）由f（x）＞0，得a＜

lnx+x2

x

在x＞1時(shí)恒成立，
令g（x）=

lnx+x2

x

，則g′(x)=

1+x2-lnx

x2

，
令h（x）=1+x²-lnx，則h′(x)=2x-

1

x

=

2x2-1

x

＞0，
∴h（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，h（x）＞h（1）=2＞0，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，
∴g（x）＞g（1）=1，所以a≤1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系的應(yīng)用及恒成立與函數(shù)的最值求解的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的應(yīng)用．