Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面為正三角形，AA₁⊥平面ABC，D，E，F(xiàn)分別為BC，B₁C₁，A₁B₁的中點．
（1）求證：BC⊥A₁D；
（2）求證：平面BEF∥平面DA₁C₁．

Answer 1

考點：平面與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）充分利用已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面為正三角形，AA₁⊥平面ABC，D，E，F(xiàn)分別為BC，B₁C₁，A₁B₁的中點．只要證明BC⊥平面DAA₁ 即可；
（2）利用面面平行的判斷，只要證明EF∥平面DA₁C₁ 和BE∥平面DA₁C₁即可．

解答： 證明：（1）∵△ABC為正三角形，D是BC的中點
∴BC⊥AD，…（1分）
∵AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥AA₁ …（3分）
∵AD，AA₁是平面DAA₁內的兩條相交直線，
∴BC⊥平面DAA₁ …（5分）
∵A₁D?平面DAA₁
∴BC⊥A₁D …（6分）
（2）∵D，E，F(xiàn)分別為BC，B₁C₁，A₁B₁的中點，
∴EF是△A₁B₁C₁的邊A₁C₁的中位線
∴EF∥A₁C₁ …（7分）
∵A₁C₁?平面DA₁C₁，EF?平面DA₁C₁，
∴EF∥平面DA₁C₁，…（8分）
∵EC₁∥BD且EC₁=BD
∴四邊形BDC₁E為平行四邊形
∴BE∥DC₁ …（9分）
∵DC₁?平面DA₁C₁，BE?平面DA₁C₁，
∴BE∥平面DA₁C₁，…（10分）
∵BE，EF是平面BEF的兩條相交直線
∴平面BEF∥平面DA₁C₁ …（12分）

點評：本題考查了三棱柱中的線線垂直和面面平行的判斷，關鍵是熟練運用三棱柱的性質以及線面垂直和線面平行的判定定理解答．