Question

已知橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1，直線l：y=-2x+m，橢圓C上是否存在兩點A、B關(guān)于直線l對稱？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：假設(shè)在橢圓C上存在兩點A、B關(guān)于直線l對稱．設(shè)直線AB的方程為：y=

1

2

x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點M（x₀，y₀）．與橢圓方程聯(lián)立可得x²+tx+t²-3=0，利用△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答： 解：假設(shè)在橢圓C上存在兩點A、B關(guān)于直線l對稱．
設(shè)直線AB的方程為：y=

1

2

x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點M（x₀，y₀）．
聯(lián)立

y= 1 2 x+t x2 4 + y2 3 =1

，化為x²+tx+t²-3=0，
△=t²-4（t²-3）＞0，化為t²＜4（*）．
∴x1+x2=-

t

2

．
∴x₀=-

t

4

，y₀=

1

2

×(-

t

4

)+t=

7t

8

．
代入y=-2x+m可得

7t

8

=-2×(-

t

4

)+m，解得t=

8

3

m．
代入（*）可得(

8

3

m)2＜4，
解得-

3

4

＜m＜

3

4

．
∴當(dāng)m∈(-

3

4

，

3

4

)時，在橢圓C上存在兩點A、B關(guān)于直線l對稱．

點評：本題考查了直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、△＞0、中點坐標(biāo)公式，考查了橢圓的對稱性、線段垂直平分線的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．