Question

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足a₁=2t（t為常數(shù)且t≠0），且a_n=2t-

t2

an-1

，b_n=

1

an-t

請(qǐng)判斷數(shù)列{b_n}是否為等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：等差關(guān)系的確定,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：先求出

1

an-t

=

1

t

+

1

an-1-t

，再利用等差數(shù)列的定義證明即可

解答： 解：{b_n}是等差數(shù)列，理由如下
∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=2t（t為常數(shù)且t≠0），且a_n=2t-

t2

an-1

，
∴a_n-t=t-

t2

an-1

=t（1-

t

an-1

）=t×

an-1-t

an-1

，
∴

1

an-t

=

1

t

+

1

an-1-t

，
∵b_n=

1

an-t

，b₁=

1

t

∴b_n-b_n-1=

1

t

，
∴數(shù)列{b_n}是以

1

t

為首項(xiàng)，以

1

t

為公差的等差數(shù)列

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的判斷與證明，解題時(shí)要注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用，屬于中檔題