Question

給出下列命題
（1）函數(shù)f（x）=

1-ex

1+ex

是偶函數(shù)
（2）函數(shù)f（x）=

1

2x+4

的對稱中心為（2，

1

8

） 
（3）長方體的長寬高分別為a，b，c，對角線長為l，則l²=a²+b²+c²
（4）在x∈[0，1]時，函數(shù)f（x）=log_a（2-ax）是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（1，2）
（5）函數(shù)f（x）=

1

x

在定義域內(nèi)既使奇函數(shù)又是減函數(shù)．
則命題正確的是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：計算題,閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由函數(shù)的奇偶性的定義，即可判斷（1）；運用f（x）滿足f（a+x）+f（a-x）=2b，則f（x）關于點（a，b）對稱，即可判斷（2）；由長方體的對角線的性質(zhì)，即可判斷（3）；由一次函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得1＜a＜2，即可判斷（4）；求出反比例函數(shù)的奇偶性和單調(diào)區(qū)間，即可判斷（5）．

解答： 解：對于（1），f（x）的定義域為R，f（-x）=

1-e-x

1+e-x

=

ex-1

ex+1

=-f（x），
即f（x）為奇函數(shù)，則（1）錯誤；
對于（2），由于f（2+x）+f（2-x）=

1

22+x+4

+

1

22-x+4

=

1

4(2x+1)

+

2x

4(1+2x)

=

1

4

，
則f（x）關于點（2，

1

8

）對稱，則（2）正確；
對于（3），長方體的長寬高分別為a，b，c，對角線長為l，則l²=a²+b²+c²，則（3）正確；
對于（4），在x∈[0，1]時，函數(shù)f（x）=log_a（2-ax）是減函數(shù)，由t=2-ax為遞減函數(shù)，則a＞1，
又2-a＞0，解得a＜2，即有1＜a＜2．則（4）正確；
對于（5），函數(shù)f（x）=

1

x

在定義域內(nèi)為奇函數(shù)，在（-∞，0），（0，+∞）是減函數(shù)，
不能說f（x）在定義域內(nèi)為減函數(shù)，比如f（-1）＜f（1），則（5）錯誤．
故答案為：（2）（3）（4）．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性以及對稱性的判斷和運用，考查長方體的對角線性質(zhì)，考查運算能力，屬于基礎題和易錯題．