Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，若橢圓C上恰好有6個不同的點P，使得△F₁F₂P為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（　　）

A．( 1 3 ， 2 3 )

B．( 1 2 ，1)

C．( 2 3 ，1)

D．( 1 3 ， 1 2 )∪( 1 2 ，1)

Answer 1

①當點P與短軸的頂點重合時，
△F₁F₂P構成以F₁F₂為底邊的等腰三角形，
此種情況有2個滿足條件的等腰△F₁F₂P；
②當△F₁F₂P構成以F₁F₂為一腰的等腰三角形時，
以F₂P作為等腰三角形的底邊為例，
∵F₁F₂=F₁P，
∴點P在以F₁為圓心，半徑為焦距2c的圓上
因此，當以F₁為圓心，半徑為2c的圓與橢圓C有2交點時，
存在2個滿足條件的等腰△F₁F₂P，
此時a-c＜2c，解得a＜3c，所以離心率e＞

1

3

當e=

1

2

時，△F₁F₂P是等邊三角形，與①中的三角形重復，故e≠

1

2

同理，當F₁P為等腰三角形的底邊時，在e＞

1

3

且e≠

1

2

時也存在2個滿足條件的等腰△F₁F₂P
這樣，總共有6個不同的點P使得△F₁F₂P為等腰三角形
綜上所述，離心率的取值范圍是：e∈（

1

3

，

1

2

）∪（

1

2

，1）