設F1，F(xiàn)2是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點，若該橢圓上一點P滿足|PF2|=|F1F2|，且以原點O為圓心，以b為半徑的圓與直線PF1有公共點，則該橢圓離心率e的取值范圍是______．
∵點P在橢圓C上，∴根據(jù)橢圓的定義，可得|PF1|+|PF2|=2a．
又∵|PF2|=|F1F2|=2c，∴|PF1|=2a-2c
過點F2作F2D⊥PF1于D點，過點O作OE⊥PF1于E點，
∵|PF2|=|F1F2|，
∴△PF1F2是等腰三角形，可得D是PF1的中點，DF1=
1
2
|PF1|=a-c，
Rt△DF1F2中，|DF1|2+|DF2|2=|F1F2|2，
∴|DF2|=
|F1F2|2-|DF1|2
=
4c2-(a-c)2
=
3c2+2ac-a2
．
∵△DF1F2中，OE是中位線，∴|OE|=
1
2
|DF2|=
1
2
3c2+2ac-a2
．
又∵以原點O為圓心，以b為半徑的圓與直線PF1有公共點，
∴原點O到直線PF1的距離小于b，即|OE|≤b，得
1
2
3c2+2ac-a2
≤b，
化簡得3c2+2ac-a2≤4（a2-c2），即7c2+2ac-5a2≤0，兩邊都除以a2得7e2+2e-5≤0，解之得-1≤e≤
5
7
．
結合橢圓的離心率e∈（0，1），可得0＜e≤
5
7
．
又∵等腰△PF1F2中，|PF2|+|F1F2|＞|PF2|，
∴2c+2c＞2a-2c，得a＜3c，所以e=
c
a
＞
1
3
．
綜上所述，橢圓的離心率e的取值范圍是(
1
3
，
5
7
]．
故答案為：(
1
3
，
5
7
]
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

點P是橢圓
x2
9
+
y2
4
=1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是焦點，且∠F1PF2=60°，則△F1PF2的面積是（　�。�
A．
4
3
3
B．4
3
C．
4
3
D．
3
2

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知點A（-1，0）、B（1，0），P（x0，y0）是直線y=x+2上任意一點，以A、B為焦點的橢圓過點P．記橢圓離心率e關于x0的函數(shù)為e（x0），那么下列結論正確的是（　�。�
A．e與x0一一對應
B．函數(shù)e（x0）無最小值，有最大值
C．函數(shù)e（x0）是增函數(shù)
D．函數(shù)e（x0）有最小值，無最大值

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知F1、F2是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩個焦點，若橢圓上存在點P使
PF1
•
PF2
=0，則|PF1|•|PF2|=（　　）
A．b2B．2b2C．2bD．b

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

橢圓
x2
16
+
y2
25
=1的焦點坐標是（　�。�
A．（±4，0）B．（0，±4）C．（±3，0）D．（0，±3）

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

橢圓
x2
9
+
y2
2
=1的焦點為F1、F2，點P在橢圓上，若|PF1|=4，則|PF2|=______，∠F1PF2的大小為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知F1、F2是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩個焦點，P是橢圓C上的一點，若∠F1PF2=60°，且△PF1F2的面積為3
3
，則b=（　�。�
A．2B．3C．6D．9

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若橢圓C上恰好有6個不同的點P，使得△F1F2P為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（　　）
A．(
1
3
，
2
3
)		B．(
1
2
，1)		C．(
2
3
，1)		D．(
1
3
，
1
2
)∪(
1
2
，1)

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓
x2
16
+
y2
9
=1的左、右焦點分別為F1、F2，點P在橢圓上．若P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點，則點P到x軸的距離為（　�。�
A．
9
5
B．3C．
9
7
7
D．
9
4

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