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6.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足:an+12=tan2+(t-1)anan+1,其中n∈N*
(1)若a2-a1=8,a3=a,且數(shù)列{an}是唯一的.
①求a的值;
②設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=nan42n+12n,是否存在正整數(shù)m,n(1<m<n),使得b1,bm,bn成等比數(shù)列?若存在,求出所有的m,n的值;若不存在,請說明理由.
(2)若a2k+a2k-1+…+ak+1-(ak+ak-1+…+a1)=8,k∈N*,求a2k+1+a2k+2+…+a3k的最小值.

分析 (1)由題意可知(an+1-tan)(an+1+an)=0,an>0,可得an+1=tan,可知數(shù)列{an}是以t為公比的等比數(shù)列,①{a1ta1=8a1t2=a有唯一正數(shù)解,即8t2-at+a=0有唯一解,△=0即可求得a和t的值,②求得an=2n+2,可知bn=nan42n+12n=n2n+1,b1,bm,bn成等比數(shù)列3n=2m2+4m+1m2,由-2m2+4m+1>0,解得m的取值范圍,由m∈N*,且1<m<n,即可求得m和n的值;
(2)由題意可知:a1tk1tk1+tk2++1=8,且t>1,a2k+1+a2k+2+…+a3k=a1t2ktk1+tk2++1=8t2ktk1=8tk1+1tk1+232,即可求得a2k+1+a2k+2+…+a3k的最小值.

解答 解:(1)∵an+12=tan2+(t-1)anan+1,即(an+1-tan)(an+1+an)=0,
又∵an>0,
∴an+1=tan,且t>0,
∴數(shù)列{an}是以t為公比的等比數(shù)列…(2分)
①要使?jié)M足條件的數(shù)列{an}是唯一的,即關(guān)于a1和t的方程組{a1ta1=8a1t2=a有唯一正數(shù)解,
即方程8t2-at+a=0有唯一解,由于a>0,
∴△=a2-32a=0,
∴a=32,此時(shí)t=2,…(4分)
②由①知an=2n+2,
bn=nan42n+12n=n2n+1,
若b1,bm,bn成等比數(shù)列,則m2m+12=13n2n+1,可得3n=2m2+4m+1m2,
∴-2m2+4m+1>0,解得:162m1+62…(8分)
又m∈N*,且1<m<n,
∴m=2,此時(shí)n=12.
故當(dāng)且僅當(dāng)m=2,n=12.使得b1,bm,bn成等比數(shù)列.…(10分)
(2)由a2k+a2k-1+…+ak+1-(ak+ak-1+…+a1)=8,
 得a1tk1tk1+tk2++1=8,且t>1,
a2k+1+a2k+2+…+a3k=a1t2ktk1+tk2++1=8t2ktk1=8tk1+1tk1+232,
當(dāng)且僅當(dāng)tk1=1tk1,即t=\root{k}{2},{a_1}=8(\root{k}{2}-1)時(shí),
a2k+1+a2k+2+…+a3k取得最小值32.…(16分)

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式、整數(shù)的性質(zhì),一元二次方程根存在問題,考查基本不等式的應(yīng)用,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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