Question

【題目】如圖，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)．

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線 ，設(shè)圓的切線交曲線于兩點(diǎn)，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）考慮到點(diǎn)在線段的垂直平分線上，因此有是常數(shù)，從橢圓定義知，其軌跡是橢圓，由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得軌跡方程；（2）當(dāng)切線垂直坐標(biāo)軸時(shí)，求得，在切線不垂直坐標(biāo)軸時(shí)，設(shè)切線的方程：，同時(shí)點(diǎn)，由直線和圓相切，得，把代入橢圓方程，可得，然后計(jì)算，但直接計(jì)算不方便，通過(guò)計(jì)算，得，由直角三角形的面積可得，由弦長(zhǎng)公式計(jì)算出，并把代入得關(guān)于的函數(shù)，設(shè)后可求得其最大值．

試題解析：（1）因?yàn)?/span>，

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，

∴，∴，

∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為；

（2）①當(dāng)切線垂直坐標(biāo)軸時(shí)，；

②當(dāng)切線不垂直坐標(biāo)軸時(shí)，設(shè)切線的方程：，點(diǎn)，由直線和圓相切，得

由得，，

∴

∴

，

∴，∴

又∵，

令，則，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

∴，

綜上，的最大值為