Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-y²=1（a＞0）與直線l：x+y=1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）求a的取值范圍；
（2）設(shè)x₁=

5

12

x₂，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）把直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y，利用判別式大于0和方程二次項(xiàng)系數(shù)不等于0求得a的范圍；
（2）設(shè)出A，B，P的坐標(biāo)，根據(jù)x₁=

5

12

x₂，求得x₁和x₂的關(guān)系式，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，聯(lián)立方程求得a．

解答： 解：（1）由C與l相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故知方程組

x2 a2 -y2=1 x+y=1

有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．
消去y并整理得
（1-a²）x²+2a²x-2a²=0．①
所以

1-a2≠0 4a4+8a2(1-a2)＞0

解得0＜a＜

2

且a≠1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（0，1）
∵x₁=

5

12

x₂，
由于x₁和x₂都是方程①的根，且1-a²≠0，
所以x₁+x₂=

17

12

x₂=-

2a2

1-a2

．
x₁•x₂=

5

12

x₂²，
消去x₂，得-

2a2

1-a2

=

289

60

由a＞0，所以a=

17

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．