Question

數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)于n∈N^*，總有a_n，

2Sn

，a_n+1成等比數(shù)列，a₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)任意給定的正整數(shù)m（m≥2），作數(shù)列{b_n}，使b₁=a₁，且

bn+1

bn

=

m-n

an+1

（n=1，2，…，m-1），求b₁+b₂+…+b_m；
（3）設(shè)數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證：

1

2

≤T_2n-T_n＜

3

4

（n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得Sn=

1

2

anan+1，從而an+1=

1

2

an+1(an+2-an)，由此能求出a_n=n．
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，

bn+1

bn

=

m-n

n+1

•

bn

bn-1

=

m-(n-1)

(n-1)+1

，由此能求出b₁+b₂+…+b_m=

1

m

(2m-1)．
（3）設(shè)t_n=T_2n-T_n=（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

+…+

1

2n

）-（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，當(dāng)n≥2時(shí)，t_n-t_n-1=（T_2n-T_n）-（T_2n-2-T_2n）=

1

2n-1

-

1

2n

＜

1

4

(

1

n-1

-

1

n

)，由此利用裂項(xiàng)法能證明

1

2

≤T_2n-T_n＜

3

4

（n∈N^*）．

解答： （1）解：∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為S_n，
對(duì)于n∈N^*，總有a_n，

2Sn

，a_n+1成等比數(shù)列，a₁=1，
∴Sn=

1

2

anan+1，①
于是Sn+1=

1

2

an+1an+2，②
②-①，得an+1=

1

2

an+1(an+2-an)，
∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n=2，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S1=

1

2

a1a2，a₂=2，
∴a_n=2+（

n

2

-1）×2=n，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=1+(

n+1

2

-1)×2=n，
∴a_n=n．
（2）解：當(dāng)n≥2時(shí)，

bn+1

bn

=

m-n

n+1

•

bn

bn-1

=

m-(n-1)

(n-1)+1

，
∴

bn

b1

=

bn

bn-1

×

bn-1

bn-2

×…×

b2

b1

=

1 m C

n m

，
∴b₁+b₂+…+b_m
=

1

m

(C

1 m

+C

2 m

+…

+C

m m

)=

1

m

(2m-1)．
（3）證明：設(shè)t_n=T_2n-T_n=（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

+…+

1

2n

）-（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）
=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，
則t_n≥

(    )

(    )

1 n+n + 1 n+n +…+ 1 n+n

n項(xiàng)

=

1

2

，
當(dāng)n≥2時(shí)，t_n-t_n-1=（T_2n-T_n）-（T_2n-2-T_2n）
=

1

2n-1

-

1

2n

=

1

(2n-1)(2n)

＜

1

4

•

1

n(n-1)

=

1

4

(

1

n-1

-

1

n

)，
∴t_n=（t_n-t_n-1）+（t_n-1-t_n-2）+…+（t₂-t₁）+t₁
＜

1

4

[(

1

n-1

-

1

n

)+(

1

n-2

-

1

n-1

)+…+(1-

1

2

)]+

1

2

=

3

4

-

1

4n

＜

3

4

，
當(dāng)n=1時(shí)，

1

2

≤T2-T1=

1

2

＜

3

4

，
∴

1

2

≤T_2n-T_n＜

3

4

（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)法的合理運(yùn)用．