已知H是△ABC的垂心,BE是AC邊上的高,B(-2,0),C(6,0),
BE
=3
HE

(1)求點H的軌跡方程;
(2)若斜率為1的直線l與點H軌跡交于M、N兩點,求
OM
ON
的最小值.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程
專題:平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析:(1)設H(x,y),E(m,n),
BE
=(m+2,n),
HE
=(m-x,n-y),由于
BE
=3
HE
,可得
m+2=3(m-x)
n=3(n-y)
,E點的坐標.又
BH
=(x+2,y),
CE
=(
3
2
x-5,
3
2
y)
,BE⊥AC,可得
BH
CE
=0,化為3x2+3y2-4x-20=0.由于
BE
=3
HE
,H是△ABC的垂心,可知:y≠0.
(2)設l的方程為:y=x+b,M(x1,y1),N(x2,y2),可得
OM
ON
=x1x2+y1y2=x1x2+(x1+b)(x2+b)=2x1x2+b(x1+x2)+b2,與H的軌跡方程聯(lián)立可得6x2+2(3b-2)x+3b2-20=0,利用△>0,可得b的取值范圍,再利用根月系數(shù)的關系代入
OM
ON
=b2+
2
3
b-
20
3
,利用二次函數(shù)的單調性即可得出.
解答: 解:(1)設H(x,y),E(m,n),
BE
=(m+2,n),
HE
=(m-x,n-y),
BE
=3
HE
,
m+2=3(m-x)
n=3(n-y)
,解得
m=1+
3
2
x
n=
3
2
y

BH
=(x+2,y),
CE
=(
3
2
x-5,
3
2
y)
,BE⊥AC,
BH
CE
=(x+2)(
3
2
x-5)+y•
3
2
y
=0,化為3x2+3y2-4x-20=0.
BE
=3
HE
,H是△ABC的垂心,∴H不可能落在x軸上,
∴點H的軌跡方程是3x2+3y2-4x-20=0.(y≠0).
(2)設l的方程為:y=x+b,M(x1,y1),N(x2,y2),
OM
ON
=x1x2+y1y2=x1x2+(x1+b)(x2+b)=2x1x2+b(x1+x2)+b2,
聯(lián)立
y=x+b
3x2+3y2-4x-20=0
,化為6x2+2(3b-2)x+3b2-20=0,
由△=4(3b-2)2-24(3b2-20)>0,解得
-2-8
2
3
<b<
-2+8
2
3
,
x1+x2=
2-3b
3
,x1x2=
3b2-20
6

OM
ON
=b2+
2
3
b-
20
3
=(b+
1
3
)2-
61
9
,
∴當b+
1
3
=0時,即b=-
1
3
時,
OM
ON
取得最小值-
61
9
點評:本題考查了向量的坐標運算、向量垂直與數(shù)量積的關系、點的軌跡方程、直線與曲線相交轉化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、二次函數(shù)的單調性,考查了推理能力和計算能力,屬于難題.
練習冊系列答案
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2
;
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2Sn
,an+1成等比數(shù)列,a1=1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)對任意給定的正整數(shù)m(m≥2),作數(shù)列{bn},使b1=a1,且
bn+1
bn
=
m-n
an+1
(n=1,2,…,m-1),求b1+b2+…+bm;
(3)設數(shù)列{
1
an
}的前n項和為Tn,求證:
1
2
≤T2n-Tn
3
4
(n∈N*).

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Sn
n
)在直線y=
1
2
x上,數(shù)列{bn}滿足
b1-1
2
+
b2-1
22
+…+
bn-1
2n
=an(n∈N)
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{bn}的前n項和Tn;
(Ⅲ)是否存在常數(shù)P(P≠-1),使數(shù)列{
Tn-n+1
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