Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，點(diǎn)（n，

Sn

n

）在直線y=

1

2

x上，數(shù)列{b_n}滿足

b1-1

2

+

b2-1

22

+…+

bn-1

2n

=a_n（n∈N）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）是否存在常數(shù)P（P≠-1），使數(shù)列{

Tn-n+1

2(2n+P)

}為等比數(shù)列，若存在，求出P的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）依題意得S_n=

1

2

n²，當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n=S_n-S_n-1=可求得a_n=n-

1

2

，再求得a₁，檢驗(yàn)即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由

b1-1

2

+

b2-1

22

+…+

bn-1

2n

=n-

1

2

⇒

b1-1

2

+

b2-1

22

+…+

bn-1-1

2n-1

=n-1-

1

2

，兩式相減后，整理可得b_n=2ⁿ+1（n≥2），進(jìn)一步可求得b₁=2，分組求和即可得到數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）易求

Tn-n+1

2(2n+P)

=

2n-1

2n+P

，令C_n=

2n-1

2n+P

，則依題意，C₁，C₂，C₃應(yīng)成等比數(shù)列，可求得P=-16，當(dāng)n=4時(shí)，C₄不存在，從而可得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵點(diǎn)（n，

Sn

n

）在直線y=

1

2

x上，∴

Sn

n

=

n

2

，即S_n=

1

2

n²，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

n²-

1

2

（n-1）²=n-

1

2

，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=

1

2

也適合上式．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=n-

1

2

…5分
（Ⅱ）由

b1-1

2

+

b2-1

22

+…+

bn-1

2n

=a_n得：

b1-1

2

+

b2-1

22

+…+

bn-1

2n

=n-

1

2

…①，

b1-1

2

+

b2-1

22

+…+

bn-1-1

2n-1

=n-1-

1

2

…②，
①-②得：

bn-1

2n

=1，
∴b_n=2ⁿ+1（n≥2），又b₁=2，
∴T_n=2¹+（2²+1）+…+（2ⁿ+1）
=（2¹+2²+…+2ⁿ）+n-1
=

2(1-2n)

1-2

+n-1
=2ⁿ⁺¹+n-3…9分
（Ⅲ）

Tn-n+1

2

=

2n+1+n-2-n

2

=2ⁿ-1，
∴

Tn-n+1

2(2n+P)

=

2n-1

2n+P

，令C_n=

2n-1

2n+P

，則依題意，C₁，C₂，C₃應(yīng)成等比數(shù)列，
即(

3

4+P

)2=

1

2+P

•

7

8+P

，
解方程得：P=-1（舍）或P=-16．
若P=-16，則C_n=

2n-1

2n-16

，當(dāng)n=4時(shí)，C₄不存在．
∴不存在常數(shù)P（P≠-1），使數(shù)列{

Tn-n+1

2(2n+P)

}為等比數(shù)列…14分

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查遞推關(guān)系的應(yīng)用，著重考查等比數(shù)列的性質(zhì)及分組求和的應(yīng)用，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與綜合運(yùn)算能力，屬于難題．