已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,點(diǎn)(n,
Sn
n
)在直線y=
1
2
x上,數(shù)列{bn}滿足
b1-1
2
+
b2-1
22
+…+
bn-1
2n
=an(n∈N)
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn;
(Ⅲ)是否存在常數(shù)P(P≠-1),使數(shù)列{
Tn-n+1
2(2n+P)
}為等比數(shù)列,若存在,求出P的值;若不存在,說明理由.
考點(diǎn):數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式
專題:綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析:(Ⅰ)依題意得Sn=
1
2
n2,當(dāng)n≥2時(shí),由an=Sn-Sn-1=可求得an=n-
1
2
,再求得a1,檢驗(yàn)即可得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)由
b1-1
2
+
b2-1
22
+…+
bn-1
2n
=n-
1
2
b1-1
2
+
b2-1
22
+…+
bn-1-1
2n-1
=n-1-
1
2
,兩式相減后,整理可得bn=2n+1(n≥2),進(jìn)一步可求得b1=2,分組求和即可得到數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn
(Ⅲ)易求
Tn-n+1
2(2n+P)
=
2n-1
2n+P
,令Cn=
2n-1
2n+P
,則依題意,C1,C2,C3應(yīng)成等比數(shù)列,可求得P=-16,當(dāng)n=4時(shí),C4不存在,從而可得結(jié)論.
解答: 解:(Ⅰ)∵點(diǎn)(n,
Sn
n
)在直線y=
1
2
x上,∴
Sn
n
=
n
2
,即Sn=
1
2
n2
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=
1
2
n2-
1
2
(n-1)2=n-
1
2
,
當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=
1
2
也適合上式.
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n-
1
2
…5分
(Ⅱ)由
b1-1
2
+
b2-1
22
+…+
bn-1
2n
=an得:
b1-1
2
+
b2-1
22
+…+
bn-1
2n
=n-
1
2
…①,
b1-1
2
+
b2-1
22
+…+
bn-1-1
2n-1
=n-1-
1
2
…②,
①-②得:
bn-1
2n
=1,
∴bn=2n+1(n≥2),又b1=2,
∴Tn=21+(22+1)+…+(2n+1)
=(21+22+…+2n)+n-1
=
2(1-2n)
1-2
+n-1
=2n+1+n-3…9分
(Ⅲ)
Tn-n+1
2
=
2n+1+n-2-n
2
=2n-1,
Tn-n+1
2(2n+P)
=
2n-1
2n+P
,令Cn=
2n-1
2n+P
,則依題意,C1,C2,C3應(yīng)成等比數(shù)列,
(
3
4+P
)2
=
1
2+P
7
8+P
,
解方程得:P=-1(舍)或P=-16.
若P=-16,則Cn=
2n-1
2n-16
,當(dāng)n=4時(shí),C4不存在.
∴不存在常數(shù)P(P≠-1),使數(shù)列{
Tn-n+1
2(2n+P)
}為等比數(shù)列…14分
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的求和,著重考查遞推關(guān)系的應(yīng)用,著重考查等比數(shù)列的性質(zhì)及分組求和的應(yīng)用,考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與綜合運(yùn)算能力,屬于難題.
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某個(gè)體戶計(jì)劃經(jīng)銷A、B兩種商品,據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì),當(dāng)投資額為x(x≥0)萬元時(shí),經(jīng)銷A、B商品中所獲得的收益分別為f(x)萬元與g(x)萬元.其中f(x)=x+1;g(x)=
10x+1
x+1
(0≤x≤3)
-x2+9x-12(3<x≤5)
.如果該個(gè)體戶準(zhǔn)備投入5萬元經(jīng)營這兩種商品,請(qǐng)你幫他制定一個(gè)資金投入方案,使他能獲得最大收益,并求出其最大收益.

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若方程x+(m-3)
x
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ln(x+1)
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BE
=3
HE

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(2)若斜率為1的直線l與點(diǎn)H軌跡交于M、N兩點(diǎn),求
OM
ON
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(1)求a的取值范圍;
(2)若存在x∈(0,+∞),使得不等式g(x)<
2x
+
m
x
-2成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)當(dāng)a≤0時(shí),對(duì)于任意的x∈(0,+∞),求證:f(x)<g(x).

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設(shè)
a
,
b
為兩個(gè)非零向量,若
p
=
a
|
a
|
+
b
|
b
|
,則|
p
|的取值范圍是
 

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