如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是棱CC1的中點(diǎn),設(shè)CP=m(0<m<1).
(Ⅰ)試確定m的值,使直線AP與平面BDD1B1所成角的正切值3
2
;
(Ⅱ)在線段A1C1上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q,使得對(duì)任意的m,D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP,并證明你的結(jié)論;
(Ⅲ)求三棱錐D-APD1的體積.
考點(diǎn):直線與平面所成的角,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定
專題:空間位置關(guān)系與距離
分析:(Ⅰ)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出當(dāng)m=
1
3
時(shí),直線AP與平面BDD1B1所成角的正切值為3
2

(Ⅱ)若在A1C1上存在這樣的點(diǎn)Q,設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x,則Q(x,1-x,1),
D1Q
=(x,1-x,0),由題意知-x+(1-x)=0,由此能求出Q為A1C1的中點(diǎn)時(shí),滿足題設(shè)的要求.
(Ⅲ)無(wú)論m取何值時(shí),P到平面ADD1的距離總是1,由VD-APD1=VP-ADD1,利用等積法能求出三棱錐D-APD1的體積.
解答: 解:(Ⅰ)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),
D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1),P(0,1,m),
BD
=(-1,-1,0),
BB1
=(0,0,1),
AP
=(-1,1,m)
,
AC
=(-1,1,0),
又由
AC
BD
=0
,
AC
BB1
=0
,得
AC
為平面BDD1B1的一個(gè)法向量,
設(shè)AP與平面BDD1B1所成的角為θ,
則sinθ=cos(
x
2
)=
|
AP
AC
|
|
AP
|•|
AC
|
=
2
2
2+m2
,
依題意有
2
2
2+m2
=
3
2
1+(3
2
)2
,解得m=
1
3
,
∴當(dāng)m=
1
3
時(shí),直線AP與平面BDD1B1所成角的正切值為3
2

(Ⅱ)若在A1C1上存在這樣的點(diǎn)Q,設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x,
則Q(x,1-x,1),
D1Q
=(x,1-x,0),
依題意,對(duì)任意的m,要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP,
等價(jià)于
D1Q
AP
,∴
AP
D1Q
=0,
∴-x+(1-x)=0,∴x=
1
2

即Q為A1C1的中點(diǎn)時(shí),滿足題設(shè)的要求.
(Ⅲ)∵無(wú)論m取何值時(shí),P到平面ADD1的距離總是1,
VD-APD1=VP-ADD1=
1
3
×S△ADD1×1
=
1
3
×
1
2
×1×1×1
=
1
6
點(diǎn)評(píng):本題考查滿足條件的線段長(zhǎng)的確定,考查滿足條件的點(diǎn)的位置的確定,考查三棱錐的體積的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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已知
a
=(6,-2),
b
=(x,1)且
a
b
,則x的值是( 。
A、
1
3
B、-
1
3
C、3
D、-3

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①證明:平面ACD⊥平面ADE;
②已知AB=2,AC=
2
,二面角C-AE-B的平面角為
π
3
,求|BE|的長(zhǎng).

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設(shè)函數(shù)f(x)=2x2+
1
2
,g(x)=ln(2ex)(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)y=f(x)-g(x)的最小值;
(2)是否一定存在一次函數(shù)h(x),使得f(x)≥h(x)≥g(x)對(duì)一切x∈(0,+∞)恒成立?若存在,求出h(x)的表達(dá)式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)
甲班10
乙班30
合計(jì)105
已知在全部105人中抽到隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為
2
7

(Ⅰ)請(qǐng)完成列聯(lián)表;
(Ⅱ)若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生抽取一人:把甲班優(yōu)秀的10名學(xué)生從2到11進(jìn)行編號(hào),先后兩次拋擲一枚均勻的骰子,出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為被抽取人的序號(hào).試求抽到6或10號(hào)的概率.

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x
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BE
=3
HE

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OM
ON
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