Question

如圖，在四棱錐A-BCDE中，AE⊥平面BCDE，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=6

3

，BC=CD=6．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面ACE；
（Ⅱ）設點G在棱AC上，且CG=2GA，試求三棱錐E-GCD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）證明BD⊥平面ACE，只需證明AE⊥BD，BD⊥CE；
（Ⅱ）過G作GH∥AE交EC于H，證明GH⊥平面DEC，即可求三棱錐E-GCD的體積．

解答： （I）證明：由AE⊥平面BCDE得AE⊥BD，
又∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，
∴∠EBC=∠BCD=∠CDE=90°，
∴四邊形BCDE為平行四邊形，
∵BC=CD，∴四邊形BCDE為正方形，
∴BD⊥CE
又AE?平面ACE，CE?平面ACE，AE∩CE=E
故BD⊥平面ACE，…6分
（Ⅱ）解：過G作GH∥AE交EC于H，…7分
∵CG=2GA，∴GH=

2

3

AE，
∵AE⊥平面BCDE，∴GH⊥平面DEC，AE⊥EC…9分
在直角三角形AEC中，CE=6

2

，AC=6

3

，得AE=6，∴GH=

2

3

AE=4
∴三棱錐E-GCD的體積VG-ECD=

1

3

×

1

2

×6×6×4=24…12分．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，考查三棱錐E-GCD的體積，正確運用直線與平面垂直的判定定理是關(guān)鍵．