Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=45°，E為對角線BD中點(diǎn)．現(xiàn)將△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使平面PBD⊥平面BCD，如圖2．
（Ⅰ）求證直線PE⊥平面BCD；
（Ⅱ）求證平面PBC⊥平面PCD；
（Ⅲ）已知空間存在一點(diǎn)Q到點(diǎn)P，B，C，D的距離相等，寫出這個(gè)距離的值（不用說明理由）．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由等腰三角形的性質(zhì)得PE⊥BD，由平面PBD⊥平面BCD，能證明直線PE⊥平面BCD．
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明平面PBC⊥平面PCD．
（Ⅲ）設(shè)Q（x，y，z），由存在一點(diǎn)Q到點(diǎn)P，B，C，D的距離相等，利用空間向量兩點(diǎn)間距離公式求出Q（0，1，0），由此能求出這個(gè)距離．

解答： （Ⅰ）證明：∵E為BD的中點(diǎn)，PB=PD，
∴PE⊥BD，
∵平面PBD⊥平面BCD，且平面PBD∩平面BCD=BD，
PE?平面PBD，
∴直線PE⊥平面BCD．
（Ⅱ）解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，
依題意得E（0，0，0），B（

2

2

，0，0），C（-

2

2

，

2

，0），D（-1，0，0），P（0，0，

2

2

），
∴

PB

=(

2

2

，0，-

2

2

)，

PC

=（-

2

2

，

2

，-

2

2

），

PD

=（-1，0，-

2

2

），
設(shè)平面PBC的法向量

n

=(x，y，z)，

PB • n =x-z=0 PC • n =-x+2y-z=0

，取x=1，得

n

=(1，1，1)，
設(shè)平面PCD的法向量

m

=(a，b，c)，

PC • m =-a+2b-c=0 PD • m =-a-c=0

，取a=1，得

m

=(1，0，-1)，
∵

m

•

n

=0，
∴平面PBC⊥平面PCD．
（Ⅲ）空間存在一點(diǎn)Q到點(diǎn)P，B，C，D的距離相等，這個(gè)距離的值為1．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．