如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠BAC=60°，E，F(xiàn)分別是AP，AC的中點，點D在棱AB上，且AD=AC．求證：
（1）EF∥平面PBC；
（2）平面DEF⊥平面PAC．
考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定
專題：空間位置關系與距離
分析：（1）利用三角形中位線定理推導出EF∥PC，由此能證明EF∥平面PBC．
（2）由已知條件推導出△ACD為正三角形，DF⊥AC，從而得到DF⊥平面PAC，由此能證明平面DEF⊥平面PAC．
解答： 證明：（1）在△PAC中，因為E，F(xiàn)分別是AP，AC的中點，
所以EF∥PC．…（2分）
又因為EF?平面PBC，PC?平面PBC，
所以EF∥平面PBC．…（5分）
（2）連結CD．因為∠BAC=60°，AD=AC，
所以△ACD為正三角形．
因為F是AC的中點，所以DF⊥AC．…（7分）
因為平面PAC⊥平面ABC，DF?平面ABC，
平面PAC∩平面ABC=AC，
所以DF⊥平面PAC． …（11分）
因為DF?平面DEF，
所以平面DEF⊥平面PAC．…（14分）
點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求下列各函數(shù)的導函數(shù)：
（1）f（x）=kx+
ax2+bx+c
；
（2）f（x）=k
ax+b
+l
cx+d
；
（3）f（x）=
(x-a)2+b2
+
(x-c)2+d2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F(xiàn) 分別是PC，PB的中點，記平面AEF與平面ABC的交線為直線l．
（Ⅰ）求證：直線l⊥平面PAC；
（Ⅱ）直線l上是否存在點Q，使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓T：
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1（a＞b＞0）．
（Ⅰ）若橢圓T的離心率為
5
3
，過焦點且垂直于z軸的直線被橢圓截得弦長為
8
3
．
①求橢圓方程；
②過點P（2，1）的兩條直線分別與橢圓F交于點A，C和B，D，若AB∥CD，求直線AB的斜率；
（Ⅱ）設P（x0，y0）為橢圓T內一定點（不在坐標軸上），過點P的兩條直線分別與橢圓T交于點A，C和B，D，且AB∥CD，類比（Ⅰ）②直接寫出直線T的斜率．（不必證明）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a，b，c∈R，a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，又PA⊥底面ABCD，E為BC的中點．
（1）求證：AD⊥PE；
（2）設F是PD的中點，求證：CF∥平面PAE．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的一個焦點為F（2，0），且離心率為
6
3
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過點M（3，0）且斜率為k的直線與橢圓交于A，B兩點，點A關于x軸的對稱點為C，求△MBC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖1，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=45°，E為對角線BD中點．現(xiàn)將△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使平面PBD⊥平面BCD，如圖2．
（Ⅰ）求證直線PE⊥平面BCD；
（Ⅱ）求證平面PBC⊥平面PCD；
（Ⅲ）已知空間存在一點Q到點P，B，C，D的距離相等，寫出這個距離的值（不用說明理由）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正方形ABCD，AB=2，若將△ABD沿正方形的對角線BD所在的直線進行翻折，則在翻折的過程中，四面體A-BCD的體積的最大值是
 
．

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