Question

已知橢圓T：

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1（a＞b＞0）．
（Ⅰ）若橢圓T的離心率為

5

3

，過焦點(diǎn)且垂直于z軸的直線被橢圓截得弦長為

8

3

．
①求橢圓方程；
②過點(diǎn)P（2，1）的兩條直線分別與橢圓F交于點(diǎn)A，C和B，D，若AB∥CD，求直線AB的斜率；
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀）為橢圓T內(nèi)一定點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），過點(diǎn)P的兩條直線分別與橢圓T交于點(diǎn)A，C和B，D，且AB∥CD，類比（Ⅰ）②直接寫出直線T的斜率．（不必證明）

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）①由已知條件稚導(dǎo)出

2b2 a = 8 3 a2-b2 a2 = 5 9

，由此能求出橢圓Г的方程．
②設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，

AP

=λ

PC

．則2-x₁=λ（x₃-2），1-y₁=λ（y₃-1），故x3=

2(1+λ)-x1

λ

，y3=

(1+λ)-y1

λ

，由此入手能求出直線AB的斜率．
（Ⅱ）歸納總結(jié)（Ⅰ）②的規(guī)律，類比（Ⅰ）②能夠直接寫出直線T的斜率．

解答： 解：（Ⅰ）①∵橢圓T：

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1（a＞b＞0），
橢圓T的離心率為

5

3

，過焦點(diǎn)且垂直于z軸的直線被橢圓截得弦長為

8

3

，
∴

2b2 a = 8 3 a2-b2 a2 = 5 9

，解得

a=3 b=2

，…（2分）
∴橢圓Г的方程為

x2

9

+

y2

4

=1．…（3分）
②設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，

AP

=λ

PC

．
則2-x₁=λ（x₃-2），1-y₁=λ（y₃-1），
故x3=

2(1+λ)-x1

λ

，y3=

(1+λ)-y1

λ

．…（5分）
∵點(diǎn)C在橢圓上，∴

x 2 3

9

+

y 2 3

4

=1，
則

[2(1+λ)-x1]2

9λ2

+

[(1+λ)-y1]2

4λ2

=1
整理得 (1+λ)2(

4

9

+

1

4

)-2(1+λ)(

2x1

9

+

y1

4

)+

x 2 1

9

+

y 2 1

4

=λ²…（6分）
由點(diǎn)A在橢圓上知

x 2 1

9

+

y 2 1

4

=1，
故(1+λ)2(

4

9

+

1

4

)-2(1+λ)(

2x1

9

+

y1

4

)=λ2-1．①…（7分）
又AB∥CD，則

BP

=λ

PD

．
同理可得 (1+λ)2(

4

9

+

1

4

)-2(1+λ)(

2x2

9

+

y2

4

)=λ2-1．②…（8分）
①-②得 

2

9

(x2-x1)+

1

4

(y2-y1)=0．
由題意可知x₁≠x₂，則直線AB的斜率為k=

y2-y1

x2-x1

=-

8

9

．…（10分）
（Ⅱ）直線AB的斜率為-

b2x0

a2y0

．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓簡單性質(zhì)的靈活運(yùn)用．