Question

【題目】設(shè)函數(shù)在上有意義，實(shí)數(shù)和滿足，若在區(qū)間上不存在最小值，則稱(chēng)在上具有性質(zhì).

（1）當(dāng)，且在區(qū)間上具有性質(zhì)時(shí)，求常數(shù)的取值范圍；

（2）已知，且當(dāng)，，判斷在區(qū)間上是否具有性質(zhì)，請(qǐng)說(shuō)明理由：

（3）若對(duì)于滿足的任意實(shí)數(shù)和，在上具有性質(zhì)時(shí)，且對(duì)任意，當(dāng)時(shí)有：，證明：當(dāng)時(shí)，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）具有性質(zhì)；（3）略.

【解析】

（1）分別討論與1和2的關(guān)系，即可得出是否存在最小值，從而求出的取值范圍；

（2）由題目條件可得出在區(qū)間，上如果有最小值，則最小值必在區(qū)間，上取到，又在區(qū)間，上不存在最小值，所以在區(qū)間，上具有性質(zhì)；

（3）首先證明對(duì)于任意，；其次證明當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，；最后證明：當(dāng)時(shí)，．

解：（1）當(dāng)時(shí)，在，上存在最小值；

當(dāng)時(shí)，在，上存在最小值（2）；

當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，所以不存在最小值．

所以．

（2）因?yàn)?/span>時(shí)，，

所以在區(qū)間，上如果有最小值，則最小值必在區(qū)間，上取到

另一方面，在區(qū)間，上不存在最小值，

所以在區(qū)間，上具有性質(zhì)．

（3）①首先證明對(duì)于任意，．

當(dāng)時(shí)，由

可知介于和之間．若，

則在區(qū)間，上存在最小值，矛盾．

利用歸納法和上面結(jié)論可得：對(duì)于任意，，當(dāng)時(shí)，．

②其次證明當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，．

任取，設(shè)正整數(shù)滿足，則．

若存在使得，則，

即．由于當(dāng)時(shí)，，

所以在區(qū)間，有最小值，矛盾．

類(lèi)似可證，當(dāng)且時(shí)，．

③最后證明：當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，成立．當(dāng)時(shí)，由可知，

存在使得，所以．

當(dāng)時(shí)，有：

若，則，

所以在，上存在最小值，故不具有性質(zhì)，故不成立．

若，則，，

假設(shè)，則在，上存在最小值，

故不具有性質(zhì)，故假設(shè)不成立．

所以當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意都成立．

又，故當(dāng)、，

所以，即．

所以當(dāng)時(shí)，則存在正整數(shù)使得，則

所以當(dāng)時(shí)，，同理可證得當(dāng)時(shí)，．

所以當(dāng)時(shí)，必然存在正整數(shù)，使得，所以；

當(dāng)時(shí)，顯然成立；

所以綜上所述：當(dāng)時(shí)，．