Question

證明：函數(shù)f（x）=-x²+4x在（-∞，2]上為增函數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的定義法即可證明函數(shù)f（x）=-x²+4x在（-∞，2]上是增函數(shù)，

解答： 證明：任取x₁，x₂∈（-∞，2]且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=-x₁²+4x₁+x₂²-4x₂=（x₁+x₂）（x₂-x₁）-4（x₂-x₁）=（x₂-x₁）（x₁+x₂-4）．
∵x₁＜x₂≤2，
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂-4＜0，
∴（x₂-x₁）（x₁+x₂-4）＜0
則f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）=-x²+4x在（-∞，2]上為增函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．