Question

已知圓C：x²+y²+mx-4y+1=0，過(guò)定點(diǎn)P（0，1）作斜率為1的直線交圓C于A、B兩點(diǎn)，P為線段AB的中點(diǎn)．
（1）求m的值；
（2）設(shè)E為圓C上不同于A、B的任意一點(diǎn)，求△ABE面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓

分析：（1）由已知條件知CP⊥AB，由C，P兩點(diǎn)的坐標(biāo)求直線CP的斜率，則根據(jù)CP的斜率與直線AB的斜率乘積為-1，即可求出m；
（2）由兩點(diǎn)間距離公式求出CP的長(zhǎng)，連接BC，|BC|=2，且△PBC為Rt△，所以能求出弦AB的長(zhǎng)，并且容易判斷當(dāng)EP經(jīng)過(guò)圓心C時(shí)，△ABE面積最大，容易求出EP的長(zhǎng)，從而求出△ABE面積的最大值．

解答： 解：（1）圓C的方程變?yōu)椋?span id="myag8ki" class="MathJye">(x+

m

2

)2+(y-2)2=

m2

4

+3，∴圓心C(-

m

2

，2)；
由已知得l：y=x+1，PC⊥AB，P（0，1），所以k_PC=-

2

m

；
∴-

2

m

•1=-1，解得m=2；
所以圓C：（x+1）²+（y-2）²=4
（2）圓心到直線AB的距離為|CP|=

2

，所以弦AB的長(zhǎng)為2

4-2

=2

2

；
如圖所示，當(dāng)△ABE面積最大時(shí)，PE經(jīng)過(guò)圓心且PE⊥AB，此時(shí)PE=

2

+2；

所以△ABE面積的最大值為

1

2

•2

2

•(

2

+2)=2+2

2

．

點(diǎn)評(píng)：考查都存在斜率的兩直線垂直的充要條件，有兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線斜率，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求弦長(zhǎng)的方法，兩點(diǎn)間距離公式．