Question

【題目】已知數(shù)集（，）具有性質(zhì)：對任意的、（），與兩數(shù)中至少有一個屬于.

（1）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；

（2）證明：，且；

（3）證明：當時，、、、、成等比數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）數(shù)集具有性質(zhì)P，理由見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）由定義直接判斷（2）由已知得anan與中至少有一個屬于A，從而得到a1＝1；再由1＝a1＜a2＜…＜an，得到akanA（k＝2，3，…，n）．由A具有性質(zhì)P可知∈A（k＝1，2，3，…，n），由此能證明a1＝1，且an（3）當n＝5時，，從而a3a4∈A，∈A，由此能證明，故成等比數(shù)列．

（1）由于3×4與均不屬于數(shù)集{1，3，4}，

所以數(shù)集{1，3，4}不具有性質(zhì)P．

由于1×2，1×3，1×6，2×3，，，，，，都屬于數(shù)集{1，2，3，6}，

所以數(shù)集{1，2，3，6}具有性質(zhì)P．

（2）證明：

因為A＝{a1，a2，…，an}具有性質(zhì)P，

所以anan與中至少有一個屬于A．

由于1≤a1＜a2＜…＜an，所以anan＞an，故ananA，

從而1∈A，故a1＝1；

因為1＝a1＜a2＜…＜an，所以akan＞an，故akanA（k＝2，span>3，…，n）．

由A具有性質(zhì)P可知∈A（k＝1，2，3，…，n），

又因為，

所以a1，，…，，，

從而a1+a2+…+an﹣1+an，

故a1＝1，且an．

（3）證明：

由（2）知，當n＝5時，有a2，，即，

因為1＝a1＜a2＜…＜a5，

所以a3a4＞a2a4＝a5，故a3a4∈A，

由A具有性質(zhì)P，可知∈A，

由，得∈A，且1a3，

所以a2，

故，

所以，

故、、、、成等比數(shù)列.