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如圖，橢圓C：x2+3y2=3b2（b＞0）．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若b=1，A，B是橢圓C上兩點，且|AB|=
3
，求△AOB面積的最大值．
（1）由x2+3y2=3b2 得
x2
3b2
+
y2
b2
=1，
所以e=
c
a
=
3b2-b2
3b2
=
6
3
；
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），△ABO的面積為S．
如果AB⊥x軸，由對稱性不妨記A的坐標為（
3
2
，
3
2
），此時S=
1
2
•
3
2
•
3
=
3
4
；
如果AB不垂直于x軸，設直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，可得x2+3（kx+m） 2=3，
即（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0，又△=36k2m2-4（1+3k2） （3m2-3）＞0，
所以x1+x2=-
6km
1+3k2
，x1x2=
3m2-3
1+3k2
，
所以（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=
12(1+3k2-m2)
(1+3k2)2
，①
由|AB|=
1+k2
•|x1-x2|及|AB|=
3
得（x1-x2）2=
3
1+k2
，②
結合①，②得m2=（1+3k2）-
(1+3k2)2
4(1+k2)
．
又原點O到直線AB的距離為
|m|
1+k2
，
所以S=
1
2
•
|m|
1+k2
•
3
，
因此S2=
3
4
•
m2
1+k2
=
3
16
（
1+3k2
1+k2
-2）2+
3
4
≤
3
4
，
故S≤
3
2
，當且僅當
1+3k2
1+k2
=2，即k=±1時上式取等號．
又
3
2
＞
3
4
，故Smax=
3
2
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本題15分）已知曲線C是到點和到直線

距離相等的點的軌跡，l是過點Q（-1，0）的直線，
M是C上（不在l上）的動點；A、B在l上，
軸（如圖）。
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）求出直線l的方程，使得為常數。

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

若直線l被圓x2+y2=4所截得的弦長為2
3
，l與曲線
x2
3
+y2=1的公共點個數為（　�。�
A．1個B．2個C．1個或2個D．1個或0個

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C1：y=x2，F為拋物線的焦點，橢圓C2：
x2
2
+
y2
a2
=1（0＜a＜2）；
（1）若M是C1與C2在第一象限的交點，且|MF|=
3
4
，求實數a的值；
（2）設直線l：y=kx+1與拋物線C1交于A，B兩個不同的點，l與橢圓C2交于P，Q兩個不同點，AB中點為R，PQ中點為S，若O在以RS為直徑的圓上，且k2＞
1
2
，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y=-
x2
2
與過點M（0，-1）的直線l相交于A、B兩點，O為原點．若OA和OB的斜率之和為1．
（1）求直線l的方程；
（2）求△AOB的面積．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知點B（6，0）和點C（-6，0），過點B的直線l與過點C的直線m相交于點A，設直線l的斜率為k1，直線m的斜率為k2，
（1）如果k1•k2=-
4
9
，求點A的軌跡方程，并寫出此軌跡曲線的焦點坐標；
（2）如果k1•k2=
4
9
，求點A的軌跡方程，并寫出此軌跡曲線的離心率；
（3）如果k1•k2=k（k≠0，k≠-1），根據（1）和（2），你能得到什么結論？（不需要證明所得結論）

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，且|F1F2|=4，一條漸近線的傾斜角為60°．
（I）求雙曲線C的方程和離心率；
（Ⅱ）若點P在雙曲線C的右支上，且△PF1F2的周長為16，求點P的坐標．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F作直線與拋物線交于A、B兩點，以AB為直徑的圓與拋物線的準線的位置關系是（　　）
A．相交B．相切
C．相離D．與p的取值相關

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
3
2
，直線x+y+1=0與橢圓交于P、Q兩點，且OP⊥OQ，求該橢圓方程．

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