已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
3
2
，直線x+y+1=0與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，求該橢圓方程．
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），
∵e=
3
2
，∴
c
a
=
3
2
，∴a2=
4
3
c2=b2+c2，∴a2=4b2．
設(shè)橢圓方程
x2
4b2
+
y2
b2
=1，
聯(lián)立
x+y+1=0
x2
4b2
+
y2
b2
=1
消y得5x2+8x+4-4b2=0，
∵直線x+y+1=0與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，∴△=64-4×5×（4-4b2）＞0，化為5b3＞1．
∴
x1+x2=-
8
5
x1•x2=
4-4b2
5
（*）
∵OP⊥OQ，∴
OP
•
OQ
=0，
∴x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（x1+1）（x2+1）=0．
∴2x1x2+x1+x2+1=0，
把（*）代入可得2
4-4b2
5
+（-
8
5
）+1=0，
解得b2=
5
8
，∴b=
10
4
．滿足△＞0．∴b2=
5
8
．
∴a2=
5
2
．
∴橢圓方程為
x2
5
2
+
y2
5
8
=1．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C：x2+3y2=3b2（b＞0）．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若b=1，A，B是橢圓C上兩點(diǎn)，且|AB|=
3
，求△AOB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

在橢圓
x2
16
+
y2
9
=1內(nèi)，有一內(nèi)接三角形ABC，它的一邊BC與長軸重合，點(diǎn)A在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則△ABC的重心的軌跡方程為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

過雙曲線x2-y2=1上一點(diǎn)Q作直線x+y=2的垂線，垂足為N，則線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程為（　�。�
A．2x2-2y2-2x-1=0B．x2+y2=1
C．2x2+2y2-y=0D．2x2-2y2-2x+2y-1=0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知直線x-y+1=0經(jīng)過橢圓S：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)．
（1）求橢圓S的方程；
（2）如圖，M，N分別是橢圓S的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k．
①若直線PA平分線段MN，求k的值；
②對(duì)任意k＞0，求證：PA⊥PB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）其右準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，雙曲線虛軸的下端點(diǎn)為B，過雙曲線的右焦點(diǎn)F（c，0）作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P，若點(diǎn)D滿足：2
OD
=
OF
+
OP
（O為原點(diǎn)）且
AB
=λ
AD
(λ≠0)
（1）求雙曲線的離心率；
（2）若a=2，過點(diǎn)B的直線l交雙曲線于M、N兩點(diǎn)，問在y軸上是否存在定點(diǎn)C，使?
CM
•
CN
為常數(shù)，若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線C：x2=2py（p＞0）與圓O：x2+y2=8相交于A、B兩點(diǎn)，且
OA
•
OB
=0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線l與圓O相切，切點(diǎn)在劣弧AB（含A、B兩點(diǎn)）上，且與拋物線C相交于M、N兩點(diǎn)，d是M、N兩點(diǎn)到拋物線C的焦點(diǎn)的距離之和．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求d的最大值，并求d取得最大值時(shí)直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知拋物線x2=4
3
y的準(zhǔn)線過雙曲線
x2
m2
-y2=-1的一個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（　　）
A．
3
2
4
B．
6
2
C．
3
D．
3
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

[理]如圖，已知?jiǎng)狱c(diǎn)A，B分別在圖中拋物線y2=4x及橢圓
x2
4
+
y2
3
=1的實(shí)線上運(yùn)動(dòng)，若AB∥x軸，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，0），則△ABN的周長l的取值范圍是______．
[文]點(diǎn)P是曲線y=x2-lnx上任意一點(diǎn)，則P到直線y=x-2的距離的最小值是______．

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同步練習(xí)冊答案