Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，且垂直于軸，連結(jié)并延長交橢圓于另一點(diǎn)，設(shè).

（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求橢圓的方程及的值；

（2）若，求橢圓的離心率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）把的坐標(biāo)代入方程得到，結(jié)合解出后可得標(biāo)準(zhǔn)方程.求出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程和直線方程后可求的坐標(biāo)，故可得的值.

（2）因，故可用表示的坐標(biāo)，利用它在橢圓上可得與的關(guān)系，化簡后可得與離心率的關(guān)系，由的范圍可得的范圍.

（1）因?yàn)?/span>垂直于軸，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，

所以，，

解得，，所以橢圓的方程為.

所以，直線的方程為，

將代入橢圓的方程，解得，

所以.

（2）因?yàn)?/span>軸，不妨設(shè)在軸上方，，.設(shè)，因?yàn)?/span>在橢圓上，所以，解得，即.

（方法一）因?yàn)?/span>，由得，，，解得，，所以.

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即，所以，從而.

因?yàn)?/span>，所以.

解得，

所以橢圓的離心率的取值范圍.